Question

17．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=$\sqrt{5}$．
（1）求证：PD⊥平面PAB；
（2）求二面角P-CD-A的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出AB⊥面PAD，从而AB⊥PD，再由PA⊥PD，能证明PD⊥面PAB．
（2）取 AD 的中点O，连接CO，PO．推导出CO⊥AD，PO⊥AD，从而PO⊥平面ABCD，以O为原点，分别以OC，OA，OP所在直线为x，y，z建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P-CD-A的余弦值．

解答 证明：（1）面PAD∩面ABCD=AD，面PAD⊥面ABCD，
∵AB⊥AD，AB?面ABCD，∴AB⊥面PAD，..…（1分）
∵PD?面PAD，∴AB⊥PD，…（2分）
又PA⊥PD，PA∩AB=A，PA?平面PAB，AB?平面PAB，
∴PD⊥面PAB．…（4分）
解：（2）取 AD 的中点O，连接CO，PO．
∵AC=CD=$\sqrt{5}$，∴CO⊥AD，…（5分）
∵PA=PD，∴PO⊥AD，…（6分）
又面PAD⊥面ABCD，PO?平面PAB，
∴PO⊥平面ABCD…（7分）
以O为原点，分别以OC，OA，OP所在直线为x，y，z建立如图坐标系，
P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，-1，0），C（2，0，0），
则$\overrightarrow{PB}$=（1，1，-1），$\overrightarrow{PD}$=（0，-1，-1），$\overrightarrow{PC}$=（2，0，-1），$\overrightarrow{CD}$=（-2，-1，0），…（9分）
设平面PBC的法向量为$\vec n$=（x，y，z），
则 $\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=x+y-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=2x-z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（$\frac{1}{2}，-1，1$），…（10分）
∵PO⊥平面ABCD，∴平面ABCD的法向量为$\vec m=（0，0，1）$，…（11分）
设二面角P-CD-A的平面角为θ，θ为锐角，
则$cosθ=\frac{{|{\vec n•\vec m}|}}{{|{\vec n}|•|{\vec m}|}}=\frac{2}{3}$，
∴二面角P-CD-A的余弦值为$\frac{2}{3}$．…（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．