Question

17．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且x＞0时，f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x，若f（x）≤1，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析 根据奇函数的性质，函数的解析式，即可得到结论．

解答 解：∵f（x）为定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0，满足不等式f（x）≤1，此时x=0，
当x＞0时，由f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x≤1，解得x≥$\frac{1}{2}$，
当x＜0，-x＞0，则f（-x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（-x）=-f（x），
解得f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（-x），x＜0，
此时由log${\;}_{\frac{1}{2}}$（-x）≤1，解得-x≥$\frac{1}{2}$，
即x≤-$\frac{1}{2}$，
综上不等式的解集为{x|x≥$\frac{1}{2}$或x≤-$\frac{1}{2}$或x=0}．

点评 本题主要考查不等式的求解，根据奇函数的性质求出函数的解析式是解决本题的关键．