Question

给出下列四个命题：
①若△ABC三边为a，b，c，面积为S，内切圆的半径r=

2S

a+b+c

，则由类比推理知四面体ABCD的内切球半径R=

3V

S1+S2+S3+S4

（其中，V为四面体的体积，S₁，S₂，S₃，S₄为四个面的面积）；
②若回归直线的斜率估计值是1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程是

y

=1.23x+0.08；
③若偶函数f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈[0，1]时，f（x）=x，则方程f（x）=log₃|x|有3个根．
④若圆C1：x2+y2+2x=0，圆C2：x2+y2+2y-1=0，则这两个圆恰有2条公切线．
其中，正确命题的序号是

①②④

．（把你认为正确命题的序号都填上）

Answer 1

分析：①根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线 类比 直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可；
②利用样本中心点的坐标满足回归直线方程，可知正确；
③根据定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x，画出函数f（x）的图象，然后根据函数y=f（x）-log₃|x|的零点个数，即为对应方程的根的个数，即为函数y=f（x）与函数y=log₃|x|的图象交点的个数；
④根据两圆的圆心距大于两圆的半径之差，小于两圆的半径之和，可得两圆相交，故两圆的公切线有2条．

解答：解：①设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和，则四面体ABCD的内切球半径R=

3V

S1+S2+S3+S4

，故①正确；
②利用样本中心点的坐标满足回归直线方程，可知正确；
③若函数f（x）满足f（x+2）=f（x），则函数是以2为周期的周期函数，又由函数是定义在R上的偶函数，
结合当x∈[0，1]时，f（x）=x，我们可以在同一坐标系中画出函数y=f（x）与函数y=log₃|x|的图象如下图所示：

由图可知函数y=f（x）与函数y=log₃|x|的图象共有4个交点，即函数y=f（x）-log₃|x|的零点个数是4个，故③不正确；
④∵⊙C₁：x²+y²+2x=0，即（x+1）²+y²=1，表示圆心为（-1，0），半径等于1的圆，⊙C₂：x²+y²+2y-1=0 即，x²+（y+1）²=2，表示圆心为（0，-1），半径等于

2

的圆．两圆的圆心距等于

2

，大于两圆的半径之差，小于两圆的半径之和，故两圆相交，故两圆的公切线有2条，故④正确．
故答案为：①②④

点评：本题考查的知识点是类比推理、线性回归方程、对数函数的图象与性质、圆与圆的位置关系，综合性强．