(本小题满分13分)
如图,已知抛物线,过点作抛物线的弦,.
(Ⅰ)若,证明直线过定点,并求出定点的坐标;
(Ⅱ)假设直线过点,请问是否存在以为底边的等腰三角形? 若存在,求出的个数?如果不存在,请说明理由.
(Ⅰ)直线过定点.;(Ⅱ)满足条件的等腰三角形有且只有一个.
【解析】(1)设出直线的方程,注意讨论斜率是否存在,与抛物线联立,利用,转化为坐标运算,数量积为0,找到直线中两个参数的关系,即找到直线过定点;(2)在(1)的条件下,
把用代换,求出中点的坐标,用表示,若存在以为底边的等腰三角形,也就是,整理得关于的方程,解方程就得到满足条件的三角形及其个数.
(Ⅰ)设直线的方程为,点、的坐标分别为.
由消,得.
由,得,.
∵,∴,∴.
∴,
∴或.
∴ 或,∵恒成立. ∴.
∴直线的方程为 ,∴直线过定点. ………………………………(6分)
(Ⅱ)假设存在以为底边的等腰三角形,由第(Ⅰ)问可知,将用代换得
直线的方程为.设点、的坐标分别为.
由消,得.
∴ .
∵的中点坐标为,即,
∵ , ∴的中点坐标为.
由已知得,即.
设,则,
在上是增函数.
又,在内有一个零点.
函数在上有且只有一个零点,即方程在上有唯一实根.
所以满足条件的等腰三角形有且只有一个.……………………………………………………… (13分)
科目:高中数学 来源:2015届江西省高一第二次月考数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本小题满分13分)已知函数.
(1)求函数的最小正周期和最大值;
(2)在给出的直角坐标系中,画出函数在区间上的图象.
(3)设0<x<,且方程有两个不同的实数根,求实数m的取值范围.
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年福建省高三年级八月份月考试卷理科数学 题型:解答题
(本小题满分13分)已知定义域为的函数是奇函数.
(1)求的值;(2)判断函数的单调性;
(3)若对任意的,不等式恒成立,求k的取值范围.
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科目:高中数学 来源:河南省09-10学年高二下学期期末数学试题(理科) 题型:解答题
(本小题满分13分)如图,正三棱柱的所有棱长都为2,为的中点。
(Ⅰ)求证:∥平面;
(Ⅱ)求异面直线与所成的角。www.7caiedu.cn
[来源:KS5
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科目:高中数学 来源:2010-2011学年福建省高三5月月考调理科数学 题型:解答题
(本小题满分13分)
已知为锐角,且,函数,数列{}的首项.
(1) 求函数的表达式;
(2)在中,若A=2,,BC=2,求的面积
(3) 求数列的前项和
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