Question

设P是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)上的一点，F₁、F₂分别是双曲线的左、右焦点，则以线段PF₂为直径的圆与以双曲线的实轴为直径的圆的位置关系是（　　）

A．内切

B．外切

C．内切或外切

D．不相切

Answer 1

分析：利用双曲线的定义，通过圆心距判断出当点P分别在左、右两支时，两圆相内切、外切．

解答：解：设以实轴|F₁F₂|为直径的圆的圆心为O₁，其半径r₁=a，
线段PF₂为直径的圆的圆心为O₂，其半径为r₂=

|PF2|

2

，
当P在双曲线左支上时，
|O₁O₂|=

|PF1|

2

，
∵r₂-|O₁O₂|=

|PF2|

2

-

|PF1|

2

=a=r₁，
∴两圆内切．
当P在双曲线右支上时，
|O₁O₂|=

|PF1|

2

，
∵|O₁O₂|-r₂=

|PF1|

2

-

|PF2|

2

=a=r₁，
∴r₁+r₂=|O₁O₂|
∴两圆外切．
故选C．

点评：本题考查直线和双曲线的位置关系，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易错点是容易只考虑P点在一个分支上而导致丢解，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．