Question

（2012•闵行区一模）将边长分别为1、2、3、…、n、n+1、…（n∈N^*）的正方形叠放在一起，形成如图所示的图形，由小到大，依次记各阴影部分所在的图形为第1个、第2个、…、第n个阴影部分图形．容易知道第1个阴影部分图形的周长为8．设前n个阴影部分图形的周长的平均值为f（n），记数列{a_n}满足an=

f(n)，当n为奇数 f(an-1) ，当n为偶数

．
（1）求f（n）的表达式；
（2）写出a₁，a₂，a₃的值，并求数列{a_n}的通项公式；
（3）记b_n=a_n+s（s∈R），若不等式

.

bn+1 bn+1 bn+2 bn

.

＞0有解，求s的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由图形观察，得第n个阴影部分图形的周长为8n，利用等差数列的求和公式即可得到f（n）的表达式；
（2）根据题中a_n的表达式，不难写出它3项，再分n为奇数和n为偶数两种情况加以讨论，结合等差数列的通项公式，可得a_n关于n的分段函数的表达式；
（3）利用行列式乘法法则，得原不等式有解即b_n+1（b_n-b_n+2）＞0有解，再分n为奇数和n为偶数两种情况加以讨论，最后综合可得实数s的取值范围．

解答：解：（1）根据题意，第1个阴影部分图形的周长为8，第2个阴影部分图形的周长为16，…，
第n个阴影部分图形的周长为8n，（2分）
故f（n）=

8+8n 2 ×n

n

=4n+4．       （4分）
（2）a₁=f（1）=8，a₂=f（a₁）=f（8）=36，a₃=f（3）=20，
①当n为奇数时，a_n=f（n）=4n+4            （3分）
②当n为偶数时，a_n=f（a_n-1）=4a_n-1+4=4[4（n-1）+4]+4=16n+4，
∴a_n=

4n+4      n为奇数 16n+4    n为偶数

．                  （5分）
（3）b_n=a_n+s=

4n+4+s      n为奇数 16n+4+s    n为偶数

.

bn+1 bn+1 bn+2 bn

.

＞0有解，即b_n+1b_n-b_n+1b_n+2=b_n+1（b_n-b_n+2）＞0有解，
①当n为奇数时，b_n+1（b_n-b_n+2）＞0即
[16（n+1）+4+s][4n+4+s-4（n+2）-4-s]＞0，
亦即16（n+1）+4+s＜0有解，故s＜（-16n-20）_max=-36         （3分）
②当n为偶数时，b_n+1（b_n-b_n+2）＞0即
即[4（n+1）+4+s][16n+4+s-16（n+2）-4-s]＞0，
于是4（n+1）+4+s＜0，故s＜（-4n-8）_max=-16．           （5分）
欲使

.

bn+1 bn+1 bn+2 bn

.

＞0有解，以上两种情况至少一个成立，
故s的取值范围是s＜-16．                            （7分）

点评：本题以一个实际问题为例，考查了等差数列的通项与求和公式、二阶行列式的计算和不等式解集非空的讨论等知识，属于基础题．