【题目】如图,四边形是矩形平面.
(1)证明:平面平面;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析(2) .
【解析】试题分析:(1)根据可得,由平面,可得,由线面垂直的判定定理可得平面,再由面面垂直的判定定理可得平面平面;(2)以过作的垂线为轴,以为,以为轴,建立空间直角坐标系,分别求得平面的法向量与平面的法向量利用空间向量夹角余弦公式可得结果.
试题解析:(1)证明:设交于,
因为四边形是矩形, ,
所以,
又,所以,
因为,所以,
又平面,
所以,而,所以平面.
由面面垂直的判定定理可得平面平面
(2)建立如图所示的空间直角坐标系,
由题意可得,
设平面的法向量,
则,取,即,
设平面的法向量,
则,取,即,
设平面和平面所成的二面角为,
则.
【方法点晴】本题主要考查面面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角,属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是:(1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系;(2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量;(3)设出相应平面的法向量,利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量;(4)将空间位置关系转化为向量关系;(5)根据定理结论求出相应的角和距离.
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【题目】在某校举行的航天知识竞赛中,参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1∶3,且成绩分布在[40,100],分数在80以上(含80)的同学获奖.按文、理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图如图所示.
(1)求a的值,并计算所抽取样本的平均值 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)填写下面的2×2列联表,并判断能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文、理科有关”?
文科生 | 理科生 | 合计 | |
获奖 | 5 | ||
不获奖 | |||
合计 | 200 |
附表及公式:
P(K2≥k0) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】共享单车是指企业的校园,地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供自行车单车共享服务,是一种分时租赁模式,某共享单车企业为更好服务社会,随机调查了100人,统计了这100人每日平均骑行共享单车的时间(单位:分钟),由统计数据得到如下频率分布直方图,已知骑行时间在三组对应的人数依次成等差数列
(1)求频率分布直方图中的值.
(2)若将日平均骑行时间不少于80分钟的用户定义为“忠实用户”,将日平均骑行时间少于40分钟的用户为“潜力用户”,现从上述“忠实用户”与“潜力用户”的人中按分层抽样选出5人,再从这5人中任取3人,求恰好1人为“忠实用户”的概率.
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是菱形,PD⊥平面ABCD,PD=AD=3,PM=2MD,AN=2NB,∠DAB=60°.
(1)求证:直线AM∥平面PNC;
(2)求二面角D﹣PC﹣N的余弦值.
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【题目】一儿童游乐场拟建造一个“蛋筒”型游乐设施,其轴截面如图中实线所示. 是等腰梯形, 米, (在的延长线上, 为锐角). 圆与都相切,且其半径长为米. 是垂直于的一个立柱,则当的值设计为多少时,立柱最矮?
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【题目】(导学号:05856310)
已知函数f(x)=x++ln x(a∈R).
(Ⅰ)当a=2时, 求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若关于x的函数g(x)=-f(x)+ln x+2e(e为自然对数的底数)有且只有一个零点,求实数a的值.
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