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【题目】如图,四边形是矩形平面.

(1)证明:平面平面

(2)求二面角的余弦值.

【答案】1见解析(2) .

【解析】试题分析:1根据可得,平面可得由线面垂直的判定定理可得平面再由面面垂直的判定定理可得平面平面;(2以过的垂线为轴,以轴,建立空间直角坐标系,分别求得平面的法向量与平面的法向量利用空间向量夹角余弦公式可得结果.

试题解析:(1)证明:设

因为四边形是矩形,

所以

,所以

因为,所以

平面

所以,而,所以平面.

由面面垂直的判定定理可得平面平面

(2)建立如图所示的空间直角坐标系,

由题意可得,

设平面的法向量

,取,即

设平面的法向量

,取,即

设平面和平面所成的二面角为

.

【方法点晴】本题主要考查面面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角,属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是:(1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系;(2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量;(3)设出相应平面的法向量,利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量;(4)将空间位置关系转化为向量关系;(5)根据定理结论求出相应的角和距离.

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(1)a的值,并计算所抽取样本的平均值 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)

(2)填写下面的2×2列联表,并判断能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文、理科有关”

文科生

理科生

合计

获奖

5

不获奖

合计

200

附表及公式:

P(K2k0)

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k0

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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(1)求频率分布直方图中的值.

(2)若将日平均骑行时间不少于80分钟的用户定义为“忠实用户”,将日平均骑行时间少于40分钟的用户为“潜力用户”,现从上述“忠实用户”与“潜力用户”的人中按分层抽样选出5人,再从这5人中任取3人,求恰好1人为“忠实用户”的概率.

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