Question

已知椭圆的两个焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），长半轴长为．
（1）（i）求椭圆C的方程；
（ii）类比结论“过圆上任一点（x₀，y₀）的切线方程是”，归纳得出：过椭圆上任一点（x₀，y₀）的切线方程是________；
（2）设M，N是直线x=2上的两个点，若的最小值．

Answer 1

解：（1）（i）由焦点坐标可知c=1，长半轴长为，可知，a=，所以b=1，
所以椭圆C的方程为．
（ii）过圆上任一点（x₀，y₀）的切线方程是，
过椭圆上任一点（x₀，y₀）的切线方程是：．
（2）∵M，N是直线x=2上的两个点，
∴设m（2，y₁），N（2，y₂），（不妨y₁＞y₂）．
∵，
∴（3，y₁）•（1，y₂）=0，
即3+y₁y₂=0，由于y₁＞y₂．所以
y₁＞0，y₂＜0，
∴|MN|=y₁-y₂=y₁+，
当且仅当y₁=，y₂=-，时取等号．
故|MN|的最小值为：2．
故答案为：（ii）．
分析：（1）直接利用椭圆的焦点坐标与长半轴，求出b，然后求解椭圆的方程．
（2）（i）直接类比圆的切线方程，写出椭圆的切线方程即可．
（ii）设m（2，y₁），N（2，y₂），通过向量的数量积，推出y₁，y₂的关系，求出|MN|的表达式，利用基本不等式求出最小值即可．
点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，向量的数量积，基本不等式的应用，考查计算能力，转化思想的应用．