Question

设函数f（x）对任意实数x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y），若x＞0时，f（x）＜0，且f（1）=2，
①求f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值．
②解不等式f（t-1）+f（t）＜0．

Answer 1

分析：①根据f（x+y）=f（x）+f（y），x＞0时，f（x）＜0，设x₁＜x₂，可判断出f（x₂）与f（x₁）的大小，进而根据函数单调性的定义，可判断出函数的单调性，分别令x=y=0，和y=-x，我们可以分析出函数的奇偶性，进而由f（1）=2，可求出f（x）在[-3，3]上的最值
②由①中结论，可将不等式f（t-1）+f（t）＜0化为t-1＞-t，解不等式可得答案．

解答：解：①设x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0
∵x＞0时，f（x）＜0，
∴f（x₂-x₁）＜0
∴f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）＜f（x₁）
所以f（x）是R上的减函数，…（4分）
令x=y=0，得f（0）=0，令y=-x，得f（-x）+f（x）=f（0）=0，
即f（x）为奇函数．…（6分）
故f（x）在[-3，3]上的最大值为f（3）=f（1）+f（2）=3f（1）=-6，…（8分）
最小值为f（-3），
∴f（-3）=-f（3）=6．…（10分）
②因为奇函数f（x）在R上是减函数…（11分）
由f（t-1）+f（t）＜0 得
f（t-1）＜-f（t）=f（-t）…（13分）
所以有t-1＞-t
解得  t＞

1

2

…（14分）

点评：本题考查的知识点是抽象函数的奇偶性与单调性，其中根据已知分析出函数的单调性和奇偶性是解答的关键．