Question

学校餐厅每天供应1000名学生用餐，每星期一有A、B两样菜可供选择，调查资料表明，凡是在本周星期一选A菜的，下周星期一会有20%改选B，而选B菜的，下周星期一则有30%改选A，若用AA_n、B_n分别表示在第n个星期一选A、B菜的人数．
（1）若

An+1 Bn+1

=M

An Bn

，请你写出二阶矩阵M；
（2）求二阶矩阵M的逆矩阵．

Answer 1

分析：（1）由二阶矩阵的运算法则可知M=

4 5 ， 3 10 1 5 ， 7 10

；
（2）设矩阵M的逆矩阵为

x， y w， v

，则由

4 5 ， 3 10 1 5 ， 7 10

•

x， y w， v

=

1， 0 0， 1

，能求出二阶矩阵M的逆矩阵．

解答：解：（1）M=

4 5 ， 3 10 1 5 ， 7 10

；
（2）设矩阵M的逆矩阵为

x， y w， v

，
则由：

4 5 ， 3 10 1 5 ， 7 10

•

x， y w， v

=

1， 0 0， 1

，
得：

4 5 x+ 3 10 w=1 1 5 x+ 7 10 w=0

，

4 5 y+ 3 10 v=0 1 5 y+ 7 10 v=1

，
解之得：

x= 7 5 w=- 2 5

，

y=- 3 5 v= 8 5

，
∴M-1=

7 5 - 3 5 - 2 5 8 5

．

点评：认真阅读题目，理解题意，得到A_n、B_n、A_n+1、B_n+1之间的关系式，再用矩阵形式表示，根据逆矩阵的定义求之．