Question

已知抛物线：，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点．（1）证明：抛物线在点处的切线与平行；（2）是否存在实数使NANB，若存在，求的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

(Ⅰ) 略  (Ⅱ)   

法一：（Ⅰ）如图，设，，把代入得，由韦达定理得，，
，点的坐标为．
设抛物线在点处的切线的方程为，
将代入上式得，直线与抛物线相切，
，．即．
（Ⅱ）假设存在实数，使，则，又是的中点，
．由（Ⅰ）知
．轴，．
又
．，解得．即存在，使．
解法二：（Ⅰ）如图，设，把代入得
．由韦达定理得．
，点的坐标为．，，
抛物线在点处的切线的斜率为，．
（Ⅱ）假设存在实数，使．
由（Ⅰ）知，则





，，，解得．即存在，使．