Question

已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），对定义域内的任意x，y都有f（xy）=f（x）+f（y）-3
（1）求f（1）的值；
（2）求证：f(x)+f(

1

x

)=6(x＞0)；
（3）若x＞1时，f（x）＜3，判断f（x）在其定义域上的单调性，并证明．

Answer 1

分析：（1）利用赋值即令x=y=1的方法易得结果．
对于（2）的抽象等式的证明，利用（1）的结论联想f(1)=f(x•

1

x

)=3即可解答．
对于（3）抽象函数的单调性的证明，需要特别的构造方法，本题中的特点是含有f（xy），因此在设出0＜x₁＜x₂之后想到
构造出：

x2

x1

＞1，可应用已知得到f(

x2

x1

)＜3，再利用（2）的结论，下面的证明过程就很自然了．

解答：解：（1）由已知已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），因此令x=y=1得
     f（1•1）=f（1）+f（1）-3，可得：
     f（1）=3                        （2分）
    （2）由已知以及（1）的结论可得f(1)=f(x•

1

x

)=f(x)+f(

1

x

)-3=3
     即有：f(x)+f(

1

x

)=6(x＞0)      （7分）
    （3）f（x）是（0，+∞）上的减函数（9分），证明如下：
     设x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，
∵

x2

x1

＞1，∴f(

x2

x1

)＜3，f(x2)+f(

1

x1

)-3＜3，
     f(x2)＜6-f(

1

x1

)=f(x1)．
∴f（x）是（0，+∞）上的减函数．   （14分）

点评：本题考查抽象函数的概念及其应用，抽象函数单调性的判断和证明，抽象函数不等式的解集的求法．
考查了构造函数以及函数值的赋值法即函数特值的应用技巧．