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在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,向量
m
=(a,b),
n
=(b,c).
(1)若向量
m
n
,求满足
3
sinB+cosB-
3
=0
的角B的值;
(2)若
m
n
=2b2,且A-C=
π
3
,求cosB的值.
分析:(1)由两个向量平行的坐标表示求出a、b、c的关系,借助于余弦定理求出角B的取值范围,最后根据等式
3
sinB+cosB-
3
=0
求出角B的值;
(2)把两个向量的坐标代入
m
n
=2b2,找出a、b、c的关系,然后运用正弦定理转化为角的关系,再借助于三角形内角和定理把角都转化为角B,先求出sin
B
2
后,运用二倍角的余弦可求cosB.
解答:解:(1)∵
m
=(a,b)
n
=(b,c)
m
n
,∴b2=ac,
cosB=
a2+c2-b2
2ac
2ac-ac
2ac
=
1
2
,当且仅当a=c时取等号,∵0<B<π,∴0<B≤
π
3

3
sinB+cosB-
3
=0
得:sin(B+
π
6
)=
3
2

B+
π
6
∈(
π
6
π
2
]

B+
π
6
=
π
3

∴B=
π
6

(2)在△ABC中,∵A-C=
π
3
,A+C=π-B,∴A=
3
-
B
2
C=
π
3
-
B
2

m
n
=2b2
,∴a+c=2b,∴sinA+sinC=2sinB,
sin(
3
-
B
2
)+sin(
π
3
-
B
2
)=2sinB
,展开化简,得:
3
cos
B
2
=2×2sin
B
2
cos
B
2

cos
B
2
≠0
,∴sin
B
2
=
3
4

∴cosB=1-2sin2
B
2
=1-
3
8
=
5
8
点评:本题考查了平面向量的数量积的坐标表示、模及夹角,考查了平面向量共线的条件,考查了转化思想,解答此题的关键是借助于正弦和余弦定理进行边和角的互化,是中等难度问题.
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科目:高中数学 来源: 题型:

在△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边长分别是a、b、c.满足2acosC+ccosA=b.则sinA+sinB的最大值是(  )
A、
2
2
B、1
C、
2
D、
1+
2
2

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科目:高中数学 来源: 题型:

在△ABC中,a<b<c,B=60°,面积为10
3
cm2,周长为20cm,求此三角形的各边长.

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科目:高中数学 来源: 题型:

在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,已知
.
m
=(cos
C
2
,sin
C
2
)
.
n
=(cos
C
2
,-sin
C
2
)
,且
m
n
=
1
2

(1)求角C;
(2)若a+b=
11
2
,△ABC的面积S=
3
3
2
,求边c的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

在△ABC中,A,B,C为三个内角,若cotA•cotB>1,则△ABC是(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知y=f(x)函数的图象是由y=sinx的图象经过如下三步变换得到的:
①将y=sinx的图象整体向左平移
π
6
个单位;
②将①中的图象的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的
1
2

③将②中的图象的横坐标不变,纵坐标伸长为原来的2倍.
(1)求f(x)的周期和对称轴;
(2)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且f(C)=2,c=1,ab=2
3
,且a>b,求a,b的值.

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