Question

6．关于x的方程sinx+cosx=cos2x（x∈[-π，π]）的所有解之和为0．

Answer 1

分析 已知等式右边利用二倍角的余弦函数公式化简，分sinx+cosx=0与sinx+cosx≠0两种情况，求出方程的解得到x的值，即可求出所有解之和．

解答 解：sinx+cosx=cos2x=cos²x-sin²x=（cosx-sinx）（cosx+sinx），
当sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）=0时，方程有意义，恒成立，
此时x+$\frac{π}{4}$=kπ，k∈Z，
∵x∈[-π，π]，
∴x=-$\frac{π}{4}$或x=$\frac{3π}{4}$；
当sinx+cosx≠0时，可得1=cosx-sinx=-$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$），即sin（x-$\frac{π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴x-$\frac{π}{4}$=2kπ-$\frac{π}{4}$或x-$\frac{π}{4}$=2kπ-$\frac{3π}{4}$，（k∈Z），
又x∈[-π，π]，
∴x=0或x=-$\frac{π}{2}$，
综上，方程sinx+cosx=cos2x的解为{x|x=-$\frac{π}{2}$或x=-$\frac{π}{4}$或x=$\frac{3π}{4}$}，
则所有解之和为0，
故答案为：0

点评 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，二倍角余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握基本关系及公式是解本题的关键．