Question

选修4-1：几何证明选讲
如图，已知PA与⊙O相切于点A，PBC为⊙O的割线，弦CD∥AP，AD与BC相交于点E，F为CE上一点，且DE²=EF•EC
（I）求证：A、P、D、F四点共圆
（II）若AE=6，DE=EB=4，求PA的长．

Answer 1

（I）证明：∵DE²=EF•EC，∴，
∵∠DEF=∠CED，∴△DEF～△CED，∴∠EDF=∠ECD，
又∵CD∥PA，∴∠ECD=∠P
∴∠P=∠EDF，∴A，P，D，F四点共圆；
（II）解：∵弦AD、BC相交于点E，∴DE•EA=CE•EB
∵AE=6，DE=EB=4，∴EC=6
∵DE²=EF•EC，∴EF=
由（Ⅰ）及相交弦定理得PE•EF=AE•ED，∴PE=9
∴PB=5，PC=15
∴PA²=PB•PC=75，即PA=5．
分析：（I）先证明△DEF～△CED，进而结合CD∥AP，利用相似三角形性质，得到∠P=∠EDF，由圆内接四边形判定定理得到A、P、D、F四点共圆；
（II）由（I）中的结论，结合相交弦定理得PE•EF=AE•ED=，结合已知条件，可求出PB，PC的长，代入切割线定理，即可求出PA的长．
点评：本题考查的知识点是与圆有关的比例线段，圆内接四边形的判定定理，考查学生的计算能力，属于中档题．