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    已知曲线C：x2=4y与椭圆E交于点P，点P在第一象限，椭圆E的两个焦点分别为F1（0，1），F2（0，-1），|PF1|=
    5
    3
    ，直线l与椭圆E交于A、B两点，若AB的中点M在曲线C上，求直线l的斜率k的取值范围．
    考点：直线与圆锥曲线的综合问题
    专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
    分析：由已知条件，求出P点坐标，从而求出OP的斜率，设曲线C与曲线E的另一个交点为P′，由抛物线和椭圆的对称性求出OP′的斜率，由此能求出直线l的斜率k的取值范围．
    解答： 解：由题意知|PF1|=yP+1=
    5
    3
    ，
    ∴yP=
    2
    3
    ，∴xP=
    		4yP
    =
    2
    		6
    3
    ，
    ∵AB的中点M在曲线C上，∴直线A原点，
    ∵kOP=
    yP
    xP
    =
    2
    3
    2
    		6
    3
    =
    		6
    6
    ，
    设曲线C与曲线E的另一个交点为P′，
    由抛物线和椭圆的对称性知：kOP′=-kOP=-
    		6
    6
    ，
    ∴l的斜率k的取值范围是[-
    		6
    6
    ，
    		6
    6
    ]．
    点评：本题考查直线的斜率的取值范围的求法，是中档题，解题时要注意圆锥曲线的对称性的合理运用．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    有下列命题：
    ①已知函数f（x）为连续可导函数，若f（x）为奇函数，则f（x）的导函数f′（x）为偶函数；
    ②若函数f（x）=x2，则f′（2x）=[f（2x）]′；
    ③若函数g（x）=（x-1）（x-2）…（x-5）（x-6），则g′（6）=120；
    ④若三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，则“a+b+c=0”是“f（x）有极值”的充要条件．
    其中真命题的序号是
     
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    若x、y满足条件
    3x-5y+6≥0
    2x+3y-15≤0
    y≥0
    ，当且仅当x=y=3时，z=ax-y取最小值，则实数a的取值范围是（　　）
    A、(-
    2
    3
    ，
    3
    5
    )
    B、(-
    2
    3
    ，
    3
    4
    )
    C、(-
    3
    4
    ，
    2
    3
    )
    D、(
    3
    4
    ，
    3
    5
    )

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知直线y=k（x+2）与双曲线
    x2
    m
    -
    y2
    8
    =1，有如下信息：联立方程组：
    y=k(x+2)
    x2
    m
    -
    y2
    8
    =1
    消去y后得到方程Ax2+Bx+C=0，分类讨论：
    （1）当A=0时，该方程恒有一解；
    （2）当A≠0时，△=B2-4AC≥0恒成立．在满足所提供信息的前提下，双曲线离心率的取值范围是（　　）
    A、（1，
    		3
    ]
    B、[
    		3
    ，+∞）
    C、（1，2]
    D、[2，+∞）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    下列说法：①2013年考入清华大学的性格外向的学生能组成一个集合；②空集∅⊆{0}；③数集{2x，x2-x}中，实数x的取值范围是{x|x≠0}．其中正确的个数是（　　）
    A、3B、2C、1D、0

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在平面直角坐标系xOy中，动点p（x，y）（x≥0）满足：点p到定点F（
    1
    2
    ，0）与到y轴的距离之差为
    1
    2
    ．记动点p的轨迹为曲线C．
    （1）求曲线C的轨迹方程；
    （2）过点F的直线交曲线C于A、B两点，过点A和原点O的直线交直线x=-
    1
    2
    于点D，求证：直线DB平行于x轴．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1 (a＞b＞0)    的右顶点为A（2，0），点P（2e，
    1
    2
    ）在椭圆上（e为椭圆的离心率）．
    （1）求椭圆的方程；
    （2）若点B，C（C在第一象限）都在椭圆上，满足
    OC
    =λ
    BA
    ，且
    OC
    •
    OB
    =0    ，求实数λ的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图所示，已知双曲线
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1，A、B为双曲线的两个顶点．
    （1）当a=2，b=
    		3
    ，直线l：y=x-4与双曲线交于C、D两点，求线段CD的长度；
    （2）在x轴上是否存在这样一个定点M（λ，0），过M的直线与双曲线有两个交点C、D，并且无论怎么旋转直线CD（在保证直线和双曲线有两个交点的前提下），始终CA⊥AD．如果存在，请求出λ的值；如果不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C1：
    x2
    a
    2
    1
    +y2=1(a1＞1)    与C2：y2+
    x2
    a
    2
    2
    =1(0＜a2＜1)    的离心率相等．直线l：y=m（0＜m＜1）与曲线C1交于A，D两点（A在D的左侧），与曲线C2交于B，C两点（B在C的左侧），O为坐标原点，N（0，-1）．
    （Ⅰ）当m=
    		3
    2
    ，|AC|=
    5
    4
    时，求椭圆C1，C2的方程；
    （Ⅱ）若2
    ND
    •
    AD
    =|
    ND
    |•|
    AD
    |    ，且△AND和△BOC相似，求m的值．

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