Question

已知抛物线C：y²=mx（m≠0）的准线与直线l：kx-y+2k=0（k≠0）的交点M在x轴上，l与C交于不同的两点A、B，线段AB的垂直平分线交x轴于点N（p，0）．
（1）求抛物线C的方程；
（2）求实数p的取值范围；
（3）若C的焦点和准线为椭圆Q的一个焦点和一条准线，试求Q的短轴的端点的轨迹方程．

Answer 1

解（1）因为点M在x轴上，令y=0代入l：kx-y+2k=0（k≠0），解得x=-2，
所以M（-2，0），所以抛物线C：y²=mx（m≠0）的准线为x=-2=-，所以m=8
所以抛物线C的方程为y²=8x．
（2）由-8y+16k=0（k≠0）△=64（1-k²）＞0∴0＜k²＜1
∴，
∴AB的中垂线方程为y-得p=x=4++2∵
0＜k²＜1∴p∈（6，+∞）
（3）∵抛物线焦点F（2，0），准线x=-2
∴x=-2是Q的左准线
设Q的中心为O′（x，0），则短轴端点为（x，±y）
（i）若F为左焦点，则c=x-2＞0，b=|y|
∴a²=b²+c²=（x-2）²+y²
依左准线方程有x-=-2∴x-=-2即y²=4（x-2）（x＞2）
（ii）若F为右焦点，则0＜x＜2，故c=2-x，b=|y|
∴a²=b²+c²=（2-x）²+y²依左准线方程有x-=-2
即∴x-=-2化简得2x²-4x+y²=0
即2（x-1）²+y²=2（0＜x＜2，y≠0）
分析：（1）先求出M点坐标，然后根据准线x=-2=-，求出m的值，进而求得抛物线方程；
（2）联立抛物线和直线方程，由△＞0，求k²的范围，进而求出AB的中垂线方程，令y=0，求得关于p的关系式，从而求出范围．
（3）首先求出焦点和准线方程，分两种情况（i）若F为左焦点，则c=x-2＞0，然后根据准线方程和a²=b²+c²，求出结果．
（ii）若F为右焦点，则0＜x＜2，故c=2-x，b=|y|，然后根据准线方程和a²=b²+c²，求出结果．
点评：本题考查了抛物线标准方程和直线和圆锥曲线的综合，综合性强，（3）要注意分两种情况，进行作答，属于中档题．