Question

已知圆C的圆心在y轴上，半径为1，且经过点P（1，2）．
（1）求圆的方程；
（2）直线l过点P且在圆上截得的弦长为，求l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）设圆心的坐标为（0，b），则由题意可得  1=，解出 b 即得圆心坐标，根据半径
求得圆的方程．
（2）当l的斜率不存在时，经检验不满足条件．当l的斜率存在时，用点斜式设 l的方程，由弦长公式求得
圆心到直线l 的距离，此距离就是圆心到直线的距离，求出 k 值，即得所求的直线方程．
解答：解：（1）设圆心的坐标为（0，b），则由题意可得  1=，∴b=2，
故圆心为（0，2），故所求的圆的方程为 x²+（y-2）²=1．
（2）当l的斜率不存在时，l的方程为 x=1，此时，直线l和圆相切，不满足条件．
当l的斜率存在时，设斜率为k，则l的方程为 y-2=k（x-1），即 kx-y+2-k=0．
设圆心到直线l 的距离为d，则由弦长公式可得  =2，∴d=．
由点到直线的距离公式可得  =，∴k=1，或 k=-1，
故l的方程为 x-y+1=0，或 x+y-3=0．
综上，l的方程为x-y+1=0，或 x+y-3=0．
点评：本题考查圆的标准方程，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，
求出圆心到直线l 的距离d是解题的关键．