Question

12．已知椭圆C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的上下两个焦点分别为F₁，F₂，过点F₁与y轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，△MNF₂的面积为$\sqrt{3}$，椭圆C的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）已知O为坐标原点，直线l：y=kx+m与y轴交于点P，与椭圆C交于A，B两个不同的点，若存在实数λ，使得$\overrightarrow{OA}$+λ$\overrightarrow{OB}$=4$\overrightarrow{OP}$，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据已知设椭圆的焦距2c，当y=c时，|MN|=|x₁-x₂|=$\frac{2{b}^{2}}{a}$，由题意得，△MNF₂的面积为$\frac{1}{2}×$|MN|×|F₁F₂|=c|MN|=$\frac{2{b}^{2}c}{a}=\sqrt{3}$，又∵$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得a、b即可．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（0，y₀），分类讨论：当m=0时，利用椭圆的对称性即可得出；m≠0时，直线AB的方程与椭圆的方程联立得到△＞0及根与系数的关系，再利用向量相等，代入计算即可得出．

解答 解：（Ⅰ）根据已知设椭圆的焦距2c，当y=c时，|MN|=|x₁-x₂|=$\frac{2{b}^{2}}{a}$，
由题意得，△MNF₂的面积为$\frac{1}{2}×$|MN|×|F₁F₂|=c|MN|=$\frac{2{b}^{2}c}{a}=\sqrt{3}$，
又∵$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得b²=1，a²=4，
椭圆C的标准方程为：x²+$\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
（Ⅱ）当m=0时，则P（0，0），由椭圆的对称性得$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{PB}，即\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{0}$，
∴m=0时，存在实数λ，使得$\overrightarrow{OA}$+λ$\overrightarrow{OB}$=4$\overrightarrow{OP}$，
当m≠0时，由$\overrightarrow{OA}$+λ$\overrightarrow{OB}$=4$\overrightarrow{OP}$，得$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{4}\overrightarrow{OA}+\frac{λ}{4}\overrightarrow{OB}$，
∵A、B、p三点共线，∴1+λ=4，⇒λ=3⇒$\overrightarrow{AP}=3\overrightarrow{PB}$
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{4{x}^{2}+{y}^{2}-4=0}\end{array}\right.$，得（k²+4）x²+2mkx+m²-4=0，
由已知得△=4m²k²-4（k²+4）（m²-4）＞0，即k²-m²+4＞0
且x₁+x₂=$\frac{-2km}{{k}^{2}+4}$，x₁x₂=$\frac{{m}^{2}-4}{{k}^{2}+4}$．
由$\overrightarrow{AP}=3\overrightarrow{PB}$得x₁=-3x₂
3（x₁+x₂）²+4x₁x₂=0，∴$\frac{12{k}^{2}{m}^{2}}{（{k}^{2}+4）^{2}}+\frac{4（{m}^{2}-4）}{{k}^{2}+4}=0$，⇒m²k²+m²-k²-4=0
显然m²=1不成立，∴${k}^{2}=\frac{4-{m}^{2}}{{m}^{2}-1}$
∵k²-m²+4＞0，∴$\frac{4-{m}^{2}}{{m}^{2}-1}-{m}^{2}+4＞0$，即$\frac{（4-{m}^{2}）{m}^{2}}{{m}^{2}-1}＞0$．
解得-2＜m＜-1或1＜m＜2．
综上所述，m的取值范围为（-2，-1）∪（1，2）∪{0}

点评 本题考查椭圆的标准方程的求法，考查了椭圆的简单性质、涉及直线与椭圆相交问题，常转化为关于x的一元二次方程，利用△＞0及根与系数的关系、向量相等等基础知识与基本技能方法求解，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．