Question

【题目】已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y= x2的焦点，离心率等于 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若 =λ1 ， ，求证：λ1+λ2为定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：设椭圆C的方程为 ，则由题意知b=1．∴ ．∴a2=5．

∴椭圆C的方程为

（2）解：设A、B、M点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y0）．

又易知F点的坐标为（2，0）．

显然直线l存在的斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是y=k（x﹣2）．

将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得（1+5k2）x2﹣20k2x+20k2﹣5=0．∴ ．

又∵ ．∴

【解析】（1）根据椭圆C的一个顶点恰好是抛物线 的焦点，离心率等于 ．易求出a，b的值，得到椭圆C的方程．（2）设A、B、M点的坐标分别为A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），设直线l的斜率为k，则直线l的方程是y=k（x﹣2），然后采用“联立方程”+“设而不求”+“韦达定理”，结合已知中 ， ，求出λ1+λ2值，即可得到结论．
【考点精析】本题主要考查了椭圆的标准方程的相关知识点，需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能正确解答此题．