Question

已知函数f(x)=

1

2

x²+ax+2blnx
（1）若b=1时，函数f（x）在（0，1）上不单调，求实数a的取值范围；
（2）若函数在（0，m）和（n，+∞）上为增函数，在（m，n）上为减函数（其中0＜m＜1，1＜n＜2）．求b-a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求导函数，由于函数f（x）在（0，1）上不单调的情况不好讨论，要使函数f（x）在区间上是单调函数，则导数≤0或≥0恒成立，列出不等式求出解集即可到得到a的取值范围；
（2）由函数的单调区间，得到导函数为0的解为m，n，再依据0＜m＜1，1＜n＜2，得到有关a，b的不等式，得到可行域，由线性规划问题，得到b-a的取值范围．

解答：解：（1）由已知f′(x)=x+a+

2

x

，若函数f（x）在（0，1）上单调，
则x+a+

2

x

≥0恒成立，或x+a+

2

x

≤0恒成立，
由x+a+

2

x

≥0（0＜x＜1）恒成立等价于x+

2

x

≥-a，
令μ(x)=x+

2

x

，则μ（x）在（0，1）上为减函数，所以μ（x）＞μ（1）=3，则3≥-a，即a≥-3．
由x+a+

2

x

≤0（0＜x＜1）恒成立等价于x+

2

x

≤-a，
令μ(x)=x+

2

x

，则μ（x）在（0，1）上为减函数，所以μ（x）＞μ（1）=3，
所以x+a+

2

x

≤0（0＜x＜1）不恒成立．
综上所述a≥-3．
（2）因为f′(x)=x+a+

2b

x

=

x2+ax+2b

x

由已知：g（x）=x²+ax+2b=0的两根为m，n．
则

g′(0)＞0   g′(1)＜0    g′(2)＞0

，即

b＞0   1+a+2b＜0   4+2a+2b＞0

令μ=b-a，则b=a+μ，即μ为过点（a，b）且斜率为1的直线在b轴上的截距，
由

1+a+2b=0 a+b+2=0

得

a=-3 b=1

，即C（-3，1）
由可行域得：直线过点（-1，0），（-3，1）时，μ分别取最小值1，最大值4．
所以1＜b-a＜4．

点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．掌握不等式恒成立时所取的条件．同时考查了简单线性规划的问题．