Question

如图，圆柱OO₁内有一个三棱柱ABC-A₁B₁C₁，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O的直径．
（1）证明：平面A₁ACC₁⊥平面B₁BCC₁；
（2）设AB=AA₁，在圆柱OO₁内随机选取一点，记该点取自于三棱柱ABC-A1B₁C₁内的概率为P．当点C在圆周上运动时，记平面A₁ACC₁与平面B₁OC所成的角为θ（0°＜θ≤90°），当P取最大值时，求cosθ的值．

Answer 1

分析：（1）欲证平面A₁ACC₁⊥平面B₁BCC₁，关键是找线面垂直，根据直线与平面垂直的判定定理知BC⊥平面A₁ACC₁；
（2）根据AC²+BC²=AB²为定值可求出V₁的最大值，从而得到P=

V1

V

的最大值，P取最大值时，OC⊥AB，于是以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz，求出平面A₁ACC₁的一个法向量与平面B₁OC的一个法向量，然后求出两法向量的夹角从而得到二面角的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）因为AA₁⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以AA₁⊥BC，
因为AB是圆O直径，所以BC⊥AC，又AC∩AA₁=A，所以BC⊥平面A₁ACC₁，
而BC?平面B₁BCC₁，所以平面A₁ACC₁⊥平面B₁BCC₁．
（Ⅱ）设圆柱的底面半径为r，则AB=AA₁=2r，故三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为V1=

1

2

AC•BC•2r=AC•BC•r，又因为AC²+BC²=AB²=4r²，
所以AC•BC≤

AC2+BC2

2

=2r²，当且仅当AC=BC=

2

r时等号成立，
从而V₁≤2r³，而圆柱的体积V=πr²•2r=2πr³，
故P=

V1

V

≤

2r3

2πr3

=

1

π

，当且仅当AC=BC=

2

r，即OC⊥AB时等号成立，
所以P的最大值是

1

π

．
P取最大值时，OC⊥AB，于是以O为坐标原点，
建立空间直角坐标系O-xyz，设OB为y轴的正半轴，OC为x轴正半轴，OO₁为z轴的正半轴，
则C（r，0，0），B（0，r，0），B₁（0，r，2r），
因为BC⊥平面A₁ACC₁，所以

BC

=(r，-r，0)是平面A₁ACC₁的一个法向量，
设平面B₁OC的法向量

n

=(x，y，z)，由

n ⊥ OC n ⊥ OB1

得

rx=0 ry+2rz=0

，故

x=0 y=-2z

，
取z=1得平面B₁OC的一个法向量为

n

=(0，-2，1)，因为0°＜θ≤90°，
所以cosθ=|cos?

n

，

BC

＞|=|

n • BC

| n |•| BC |

|=|

2r

5 • 2 r

|=

10

5

．

点评：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概型等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想．