Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，x∈[-2，2]表示的曲线过原点，且在x=±1处的切线斜率均为-1，给出以下结论：
①f（x）的解析式为f（x）=x³-4x，x∈[-2，2]；
②f（x）的极值点有且仅有一个；
③f（x）的最大值与最小值之和等于0．
其中正确的结论有（　　）

Answer 1

分析：首先利用导数的几何意义及函数f（x）过原点，列方程组求出f（x）的解析式；则命题①可得出判断；最后令f′（x）=0，求出f（x）的极值点，进而求得f（x）的单调区间与最值，则命题②③得出判断．

解答：解：函数f（x）=x³+ax²+bx+c的图象过原点，可得c=0；
又f′（x）=3x²+2ax+b，且f（x）在x=±1处的切线斜率均为-1，
则有

3+2a+b=-1 3-2a+b=-1

，解得a=0，b=-4．
所以f（x）=x³-4x，f′（x）=3x²-4．
①可见f（x）=x³-4x，因此①正确；
②令f′（x）=0，得x=±

2 3

3

．因此②不正确；
所以f（x）在[-

2 3

3

，

2 3

3

]内递减，
且f（x）的极大值为f（-

2 3

3

）=

16 3

9

，极小值为f（

2 3

3

）=-

16 3

9

，两端点处f（-2）=f（2）=0，
所以f（x）的最大值为M=

16 3

9

，最小值为m=-

16 3

9

，则M+m=0，因此③正确．
所以正确的结论为①③，
故选C．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，应用导数求函数的极值点，最大值与最小值等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．