【题目】已知函数.
(1)当时,求在区间上的最值;
(2)讨论函数的单调性;
(3)当时,有恒成立,求的取值范围.
【答案】(Ⅰ);
(Ⅱ)见解析;
(Ⅲ)(﹣1,0)
【解析】
(1)求出函数在区间上的极值和端点值,比较后可得最值;(2)根据的不同取值进行分类讨论,得到导函数的符号后可得函数的单调性;(3)当时,求出函数的最小值为,故问题转化为当时恒成立,整理得到关于的不等式,解不等式可得所求范围.
(1)当时,,
∴.
∴当时,单调递减;当时,单调递增.
∴当时,函数取得极小值,也为最小值,且最小值为.
又,,
∴.
所以函数在区间上的最小值为,最大值为.
(2)由题意得,.
①当,即时,恒成立,
∴在上单调递减.
②当时,恒成立,
∴在上单调递增.
③当时,,
由得,或(舍去),
∴在上单调递减,在上单调递增.
综上可得,当,在上单调递增;
当时,在上单调递减,在单调递增;
当时,在上单调递减.
(3)由(2)可得,当时,,
若不等式恒成立,则只需,
即,
整理得,
解得,
∴,
又,
∴.
∴实数的取值范围为.
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【题目】一个口袋中有个白球和个红球(,且),每次从袋中摸出两个球(每次摸球后把这两个球放回袋中),若摸出的两个球颜色相同为中奖,否则为不中奖.
(1)试用含的代数式表示一次摸球中奖的概率;
(2)若,求三次摸球恰有一次中奖的概率;
(3)记三次摸球恰有一次中奖的概率为,当为何值时,取最大值.
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【题目】从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为a,b,共可得到lga﹣lgb的不同值的个数是( )
A.9
B.10
C.18
D.20
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【题目】某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x在1,2,3,…,24这24个整数中等可能随机产生
(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率pi(i=1,2,3);
(2)甲乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编程写出程序重复运行n次后,统计记录输出y的值为i(i=1,2,3)的频数,以下是甲乙所作频数统计表的部分数据.
甲的频数统计图(部分)
运行次数n | 输出y的值为1的频数 | 输出y的值为2的频数 | 输出y的值为3的频数 |
30 | 14 | 6 | 10 |
… | … | … | … |
2100 | 1027 | 376 | 697 |
乙的频数统计图(部分)
运行次数n | 输出y的值为1的频数 | 输出y的值为2的频数 | 输出y的值为3的频数 |
30 | 12 | 11 | 7 |
… | … | … | … |
2100 | 1051 | 696 | 353 |
当n=2100时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编程序符合要求的可能性较大;
(3)将按程序摆图正确编写的程序运行3次,求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望.
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【题目】设常数a∈R,集合A={x|(x﹣1)(x﹣a)≥0},B={x|x≥a﹣1},若A∪B=R,则a的取值范围为( )
A.(﹣∞,2)
B.(﹣∞,2]
C.(2,+∞)
D.[2,+∞)
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【题目】设抛物线的顶点在坐标原点,焦点F在轴正半轴上,过点F的直线交抛物线于A,B两点,线段AB的长是8,AB的中点到轴的距离是.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)在抛物线上是否存在不与原点重合的点P,使得过点P的直线交抛物线于另一点Q,满足,且直线PQ与抛物线在点P处的切线垂直?并请说明理由.
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【题目】甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10),每小时可获得的利润是100(5x+1﹣ )元.
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元,求x的取值范围;
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求此最大利润.
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【题目】某校高一(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损,可见部分如图.
(1)求分数在的频数及全班人数;
(2)求分数在之间的频数,并计算频率分布直方图中间矩形的高.
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