Question

定义在R上奇函数f（x）满足：当x∈（-∞，0）时，不等式f（x）+xf′（x）＜0，若a=20.2f(20.2)，b=ln2f(ln2)，c=log2

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f(log2

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)，则a，b，c由小到大关系式为

 

．

Answer 1

分析：令g（x）=xf（x），根据f（x）是奇函数得g（x）是偶函数，由x∈（-∞，0）时，g′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，得函数g（x）在x∈（-∞，0）上的单调性，从而得g（x）在（0，+∞）上的单调性，再由-log₂

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=2＞2^0.2＞1＞ln2＞0，得a，b，c的大小．

解答：解：∵f（x）是奇函数，∴xf（x）是偶函数，
设g（x）=xf（x），
当x∈（-∞，0）时，g′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，
∴函数g（x）在x∈（-∞，0）上单调递减，
根据偶函数的性质可知函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，
∵-log₂

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=2＞2^0.2＞1＞ln2＞0，
∴g（-log₂

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）＞g（2^0.2）＞g（ln2）；
又g（-log₂

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）=g（log₂

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），
即（log₂

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）•f（log₂

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）＞（2^0.2）•f（2^0.2）＞（ln2）•f（ln2），
∴c＞a＞b．
故答案为：c＞a＞b．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，函数单调性的性质以及不等关系与不等式．对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性．利用导数研究函数问题时，经常会运用分类讨论的数学思想方法．解题的关键是根据已知条件合理的构造新函数，利用新函数的单调性比较函数值的大小．属于中档题．