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    正项数列{an}的前n项和为Sn，且4Sn=（a+1）2，n∈N*．
    （1）试求数列{an}的通项公式；
    （2）设bn=数学公式（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．

    解：（1）∵4Sn=（a+1）2，n∈N*，∴…①
    当n=1时，，∴a1=1．
    当n≥2时，…②
    ①、②式相减得：
    4an=（an+an-1）（an-an-1）+2（an-an-1），
    ∴2（an+an-1）=（an+an-1）（an-an-1），
    ∴an-an-1=2，
    综上得an=2n-1．（6分）
    （2）
    =，
    ∴Tn=
    =．（12分）
    分析：（1）由题设知，a1=1，，所以4an=（an+an-1）（an-an-1）+2（an-an-1），由此能求出an=2n-1．
    （2）由=，利用裂项求和法能求出Tn的值．
    点评：第（1）题考查数列的通项公式，解题时要注意迭代法的合理运用；第（2）题考查数列的前n项和的求法，解题时要注意裂项求和法的合理运用．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设正项数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=n2．
    （1）求{an}的通项公式；
    （2）设bn=
    1
    (an+1)(an+1+1)
    ，求数列{bn}的前n项的和Tn．
    （3）是否存在自然数m，使得
    m-2
    4
    ＜Tn＜
    m
    5
    对一切n∈N*恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2，an+1=2Sn+2（n∈N*），
    （1）求a2以及数列{an}的通项公式；
    （2）在an与an+1之间插入n个数，使这n个数组成一个公差为dn的等差数列．
    （ⅰ）求证：
    1
    d1
    +
    1
    d2
    +
    1
    d3
    +…+
    1
    dn
    ＜
    15
    16
    （n∈N*）；
    （ⅱ）求证：在数列{dn}中不存在三项dm，ds，dt成等比数列．（其中m，s，t依次成等比数列）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设Sn是正项数列{an}的前n项和且Sn= 
    1
    2
    an2+
    1
    2
    an-1    ．
    （1）求an；  
    （2）若bn=2n求Tn=a1b1+a2b2+…+anbn的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知正项数列{an}的前n项和sn=
    an2+an
    2
    ，bn=(1+
    1
    2an
    )an(n∈N*)    ．
    （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
    （Ⅱ）定理：若函数f（x）在区间D上是凹函数，且f'（x）存在，则当x1＞x2（x1，x2∈D）时，总有
    f(x1)-f(x2)
    x1-x2
    ＜f′(x1)    ，请根据上述定理，且已知函数y=xn+1（n∈N*）是（0，+∞）上的凹函数，判断bn与bn+1的大小；
    （Ⅲ）求证：
    3
    2
    ≤bn＜2    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设首项为1的正项数列{an}的前n项和为Sn，数列{an2}的前n项和为Tn，且Tn=
    4-(Sn-p)23
    ，其中p为常数．
    （1）求p的值；
    （2）求证：数列{an}为等比数列；
    （3）证明：“数列an，2xan+1，2yan+2成等差数列，其中x、y均为整数”的充要条件是“x=1，且y=2”．

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