Question

（2012•德州一模）已知函数f(x)=

3

sinxcosx-cos2x+

1

2

(x∈R)
（I）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，

π

2

]上的值域；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，又f(

A

2

+

π

3

)=

4

5

，b=2，△ABC的面积等于3，求边长a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用二倍角公式以及两角差的正弦函数化简函数的表达式，求出函数的周期，根据x的范围求出2x-

π

6

的范围，集合正弦函数的值域求出所求函数的值域．
（Ⅱ）根据题目的条件，求出cosA，sinA以及c的值，通过余弦定理求解即可得到a的值．

解答：解：（Ⅰ）因为函数f(x)=

3

sinxcosx-cos2x+

1

2

=sin（2x-

π

6

），
故f（x）的最小正周期为π，x∈[0，

π

2

]时，2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
所求函数的值域为[-

1

2

，1]．
（Ⅱ）∵f(

A

2

+

π

3

)=

4

5

，∴cosA=

4

5

，∴sinA=

3

5

，
∵S=

1

2

bcsinA，b=2，sinA=

3

5

，
∴c×

3

5

=3，∴c=5
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA=4+25-2×2×5×

4

5

=13，
∴a=

13

．

点评：本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，余弦定理的应用，考查计算能力．