分析 (1)利用向量的三角形法则将$\overrightarrow{AD}$用$\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{BD}$表示即可;
(2)设$\overrightarrow{BD}=λ\overrightarrow{BC}$,0≤λ≤1,将$\overrightarrow{AD}$,$\overrightarrow{BC}$分别利用$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$表示,利用数量积公式得到关于λ的范围,利用几何概型求概率.
解答 解:在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=3,AC=4,∴BC=5.…(1分)
(1)∵$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$,
∴$\overrightarrow{BD}=\frac{1}{5}\overrightarrow{BC}=-\frac{1}{5}\overrightarrow{a}+\frac{1}{5}\overrightarrow{b}$,
∴$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\frac{4}{5}\overrightarrow{a}+\frac{1}{5}\overrightarrow{b}$.…(4分)
(2)设$\overrightarrow{BD}=λ\overrightarrow{BC}$,0≤λ≤1,
则$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{a}+λ(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})=(1-λ)\overrightarrow{a}+λ\overrightarrow{b}$.…(6分)
令$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}=[(1-λ)\overrightarrow{a}+λ\overrightarrow{b}]•(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})$=$λ{\overrightarrow{b}}^{2}-(1-λ){\overrightarrow{a}}^{2}=25λ-9≤0$,
则$λ≤\frac{9}{25}$,…(10分)
∴$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$≤0的概率为$\frac{9}{25}$.…(12分)
点评 本题考查了平面向量的三角形法则的运用以及与概率结合的数量积的计算;属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | ab>ac | B. | c(b-a)>0 | C. | ac(a-c)<0 | D. | cb2>ab2 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
x | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 |
y | 30 | 40 | 60 | 50 | 70 |
A. | 6 | B. | -6 | C. | -6.5 | D. | 6.5 |
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患病 | 未患病 | 总计 | |
未服用药 | 25 | 15 | 40 |
服用药 | c | d | 40 |
总计 | M | N | 80 |
P(K2≥k0) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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A. | -4 | B. | -$\frac{1}{4}$ | C. | $\frac{1}{4}$ | D. | 4 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{4}{5}$ | B. | $-\frac{4}{5}$ | C. | $\frac{3}{5}$ | D. | $-\frac{3}{5}$ |
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