Question

18．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，记$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$．
（1）若BD=1，试用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$表示$\overrightarrow{AD}$；
（2）若D是线段BC上任意一点，求$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$≤0的概率．

Answer 1

分析 （1）利用向量的三角形法则将$\overrightarrow{AD}$用$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BD}$表示即可；
（2）设$\overrightarrow{BD}=λ\overrightarrow{BC}$，0≤λ≤1，将$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{BC}$分别利用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$表示，利用数量积公式得到关于λ的范围，利用几何概型求概率．

解答 解：在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，∴BC=5．…（1分）
（1）∵$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$，
∴$\overrightarrow{BD}=\frac{1}{5}\overrightarrow{BC}=-\frac{1}{5}\overrightarrow{a}+\frac{1}{5}\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\frac{4}{5}\overrightarrow{a}+\frac{1}{5}\overrightarrow{b}$．…（4分）
（2）设$\overrightarrow{BD}=λ\overrightarrow{BC}$，0≤λ≤1，
则$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{a}+λ（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}）=（1-λ）\overrightarrow{a}+λ\overrightarrow{b}$．…（6分）
令$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}=[（1-λ）\overrightarrow{a}+λ\overrightarrow{b}]•（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}）$=$λ{\overrightarrow{b}}^{2}-（1-λ）{\overrightarrow{a}}^{2}=25λ-9≤0$，
则$λ≤\frac{9}{25}$，…（10分）
∴$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$≤0的概率为$\frac{9}{25}$．…（12分）

点评 本题考查了平面向量的三角形法则的运用以及与概率结合的数量积的计算；属于中档题．