Question

5．如图，平面ABEF⊥平面CBED，四边形ABEF为直角梯形，∠AFE=∠FEB=90°，四边形CBED为等腰梯形，CD∥BE，且BE=2AF=2CD=2BC=2EF=4．
（Ⅰ）若梯形CBED内有一点G，使得FG∥平面ABC，求点G的轨迹；
（Ⅱ）求平面ABC与平面ACDF所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取BE的中点O，连接OD，OF，则DO∥BC，FO∥AB，可得平面DFO∥平面ABC，即可得出结论；
（Ⅱ）由题意得AO⊥平面CBEF，OC=OD=CD=DE，△COD为正三角形，连接O与CD的中点并延长，
以此线为x轴，以O为原点，OE为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解．

解答 解：（Ⅰ）设O为BE的中点，连接FO，DO，
因为∠AFE=∠FEB=90°，所以AF∥BO，又AF=BO，所以AFOB为平行四边形，所以AB∥OF，
又OF?平面ABC，所以OF∥平面ABC，
同时AF∥BE，CD∥BE，∴AF∥CD，又AF=DC，所以ACDF也为平行四边形，所以DF∥AC，
又DF?平面ABC，所以DF∥平面ABC，
因为DF∩OF=F，所以平面DOF∥平面ABC，
故当G位于线段OD上时，FG∥平面ABC，从而点G的轨迹为线段OD．
（Ⅱ）由题意EF⊥BE，因为平面ABEF⊥平面CBED，平面ABEF∩平面CBED=BE，
所以EF⊥平面CBED，又可证EF∥AO，所以AO⊥平面CBEF，
根据题意OC=OD=CD=DE，所以△COD为正三角形，连接O与CD的中点并延长，
以此线为x轴，以O为原点，OE为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，所以$O（{0，0，0}），A（{0，0，2}），B（{0，-2，0}），C（{\sqrt{3}，-1，0}），\overrightarrow{AB}=（{0，-2，-2}），\overrightarrow{AC}=（{\sqrt{3}，-1，-2}），\overrightarrow{CD}=（{0，2，0}）$，
设平面ABC的一个法向量为η=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AB}•\vec n=0\\ \overrightarrow{AC}•\vec n=0\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}-2y-2z=0\\ \sqrt{3}x-y-2z=0\end{array}\right.$，
令z=1，则$\vec n=（{\frac{{\sqrt{3}}}{3}，-1，1}）$，
同理可得平面ACDF一个法向量为$\vec m=（{\frac{{2\sqrt{3}}}{3}，0，1}）$，
所以平面ABC与平面ACDF所成的锐二面角的余弦值为$|{\frac{\vec m•\vec n}{{|{\vec m}|•|{\vec n}|}}}|=|{\frac{{\frac{5}{3}}}{{\sqrt{\frac{7}{3}}\sqrt{\frac{7}{3}}}}}|=\frac{5}{7}$．

点评 本题考了空间动点轨迹问题，查直线与平面平行的判定，二面角的向量求法，考查逻辑思维能力 空间想象能力，是中档题．