分析 (1)推导出${a}_{n+1}-{a}_{n}={{a}_{n}}^{2}$>0,{an}是增数列,${a}_{n}≥\frac{1}{2}$,由此能证明an<an+1≤3an2.
(2)把给出的递推式变形得到$\frac{1}{{a}_{n}+1}$=$\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}$,然后利用累加法进行化简,再由递推式能证明1<$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}}$<2.
解答 证明:(1)∵a1=$\frac{1}{2}$,且an+1=an+an2(n∈N*),
∴${a}_{n+1}-{a}_{n}={{a}_{n}}^{2}$>0,
∴an<an+1,
∵${a}_{1}=\frac{1}{2}$,{an}是增数列,∴${a}_{n}≥\frac{1}{2}$,∴2an2≥an,∴an+1=an+an2≤3an2,
∴an<an+1≤3an2.
(2)∵an+1=an+an2=an(an+1),bn=an+1,
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{1}{{a}_{n}({a}_{n}+1)}$=$\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n}+1}$,
∴$\frac{1}{{a}_{n}+1}$=$\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}$
又$\frac{1}{{a}_{1}}$=2,
∴$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}}$
=$\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{2}}+\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{3}}+…+\frac{1}{{a}_{n-1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$
=$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2-$\frac{1}{{a}_{n}}$,
∵$0<\frac{1}{{a}_{n}}<1$,
∴1<$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}}$<2.
点评 本题考查了数列的概念及简单表示法,考查了累加法求得数列的和,解答此题的关键是由递推式得到列项公式,是中档题.
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A. | 30° | B. | 45° | C. | 60° | D. | 无法确定 |
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A. | 一定外切 | B. | 一定内切 | ||
C. | 一定不相交 | D. | 不能确定,与k的值有关 |
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