Question

公差不为零的等差数列{a_n}中，a₃=7，且a₂，a₄，a₉成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设a_n=b_n+1-b_n，b₁=1，求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

解：（1）∵等差数列{a_n}中，a₂，a₄，a₉成等比数列，
∴a₄²=a₂•a₉，即（a₁+3d）²=（a₁+d）（a₁+8d），
整理得：6a₁d+9d²=9a₁d+8d²，即d²=3a₁d，
∵d≠0，∴d=3a₁，
又a₃=a₁+2d=7a₁=7，
∴a₁=1，d=3，
则数列{a_n}的通项公式为a_n=1+3（n-1）=3n-2；
（2）∵b₁=1，a_n=3n-2，a_n=b_n+1-b_n，
∴a₁=b₂-b₁，a₂=b₃-b₂，…，a_n-1=b_n-b_n-1，
∴a₁+a₂+••+a_n-1=b_n-b₁，即==b_n-1，
则b_n=+1=．
分析：（1）由等差数列{a_n}中a₂，a₄，a₉成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再利用等差数列的通项公式化简，得出首项与公差的关系，根据a₃的值，确定出首项与公差，即可得到等差数列的通项公式；
（2）分别把n=1，2，…，n-1代入a_n=b_n+1-b_n，等式左右两边分别相加，左边利用等差数列的求和公式化简，右边抵消合并后将b₁的值代入，整理后即可得到数列{b_n}的通项公式．
点评：此题考查了等比数列的性质，等差数列的通项公式，以及等差数列的求和公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键．