【题目】数列的前项和为,且是和的等差中项,等差数列满足,.
(1)求数列、的通项公式;
(2)设,数列的前项和为,证明:.
【答案】(1),;(2)证明过程详见解析.
【解析】
试题分析:本题主要考查等差数列与等比数列的概念、通项公式、前项和公式、数列求和等基础知识,考查运算能力、推理论证能力.第一问,先利用是和的等差中项,得到,由求,注意的情况,不要漏掉,会得到为等比数列,利用等比数列的通项公式,求和公式直接写出和,再利用已知求出,写出等差数列的通项公式;第二问,先化简表达式,利用裂项相消法求和求,利用放缩法比较与的大小,作差法判断数列的单调性,因为数列为递增数列,所以最小值为,即,所以.
试题解析:(1)∵是和的等差中项,∴
当时,,∴
当时,,
∴ ,即 3分
∴数列是以为首项,为公比的等比数列,
∴, 5分
设的公差为,,,∴
∴ 6分
(2) 7分
∴ 9分
∵,∴ 10分
∴数列是一个递增数列 ∴.
综上所述, . 12分
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【题目】若函数y=f(x)同时满足:(ⅰ)对于定义域内的任意x,恒有f(x)+f(﹣x)=0;(ⅱ)对于定义域内的任意x1 , x2 , 当x1≠x2时,恒有 , 则称函数f(x)为“二维函数”.现给出下列四个函数:
①f(x)=
②f(x)=﹣x3+x
③
④
其中能被称为“二维函数”的有 (写出所有满足条件的函数的序号).
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【题目】某校从高一年级学生中随机抽取40名中学生,将他们的期中考试数学成绩(满分100分,成绩均为不低于40分的整数)分成六段: , ,…, ,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求图中实数的值;
(2)若该校高一年级共有640人,试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数;
(3)若从数学成绩在与两个分数段内的学生中随机选取2名学生,求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.
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【题目】有下列四个命题:
①“若, 则互为相反数”的逆命题;
②“若两个三角形全等,则两个三角形的面积相等”的否命题;
③“若,则有实根”的逆否命题;
④“若不是等边三角形,则的三个内角相等”逆命题;
其中真命题为( ).
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ③④
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【题目】已知椭圆: 的左焦点,若椭圆上存在一点,满足以椭圆短轴为直径的圆与线段相切于线段的中点.
(1)求椭圆的方程;
(2)过坐标原点的直线交椭圆: 于、两点,其中点在第一象限,过作轴的垂线,垂足为,连结并延长交椭圆于,求证: .
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【题目】已知函数f(x)=的定义域为A,集合B={x|(x﹣m﹣3)(x﹣m+3)≤0}.
(1)求A和f(x)的值域C;
(2)若A∩B=[2,3],求实数m的值;
(3)若CRB,求实数m的取值范围.
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