Question

已知f（x）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，当x＞0时，y=f（x）的图象如图所示，解不等式xf（x）＜0．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：根据图象可得，当x＞0时，f（x）递增，且f（3）=0，再由偶函数的图象关于y轴对称，可得x＜0时，f（x）递减，且f（-3）=0，不等式xf（x）＜0，即为

x＞0 f(x)＜0

或

x＜0 f(x)＞0

，分别解出它们，再求并集即可．

解答： 解：f（x）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，
则由图象可得，当x＞0时，f（x）递增，且f（3）=0，
由于f（-x）=f（x），即有f（-3）=0，
再由偶函数的图象关于y轴对称，可得x＜0时，f（x）递减．
则不等式xf（x）＜0，即为

x＞0 f(x)＜0

或

x＜0 f(x)＞0

，
即有

x＞0 f(x)＜f(3)

或

x＜0 f(x)＞f(-3)

，
即有

x＞0 x＜3

或

x＜0 x＜-3

，
解得，0＜x＜3或x＜-3．
则解集为（0，3）∪（-∞，-3）．

点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：解不等式，注意讨论的方法，考查运算能力，属于中档题．