Question

在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F₁，F₂在x轴上，且椭圆C与椭圆C1：

x2

4

+

y2

8

=1的离心率相同，过F₁的直线交椭圆C于A，B两点，且△ABF₂的周长为4

2

，那么椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1

．

Answer 1

分析：根据题意，△ABF₂的周长为4

2

，即BF₂+AF₂+BF₁+AF₁=4

2

，结合椭圆的定义，有4a=4

2

，即可得a的值；又由椭圆的离心率，可得c的值，进而可得b的值；由椭圆的焦点在x轴上，可得椭圆的方程．

解答：解：根据题意，△ABF₂的周长为4

2

，即BF₂+AF₂+BF₁+AF₁=4

2

；
根据椭圆的性质，有4a=4

2

，即a=

2

；
椭圆C1：

x2

4

+

y2

8

=1的离心率为

2

2

，即

c

a

=

2

2

，则a=

2

c，
将a=

2

c，代入可得，c=1，则b²=a²-c²=1；
则椭圆的方程为

x2

2

+y2=1；
故答案为：

x2

2

+y2=1

点评：本题考查椭圆的性质，此类题型一般与焦点三角形联系，难度一般不大；注意结合椭圆的基本几何性质解题即可．