Question

如图（1），在等腰梯形CDEF中，CB、DA是梯形的高，AE=BF=2，，现将梯形沿CB、DA折起，使EF∥AB且EF=2AB，得一简单组合体ABCDEF如图（2）示，已知M，N，P分别为AF，BD，EF的中点．
（1）求证：MN∥平面BCF；
（2）求证：AP⊥DE；
（3）当AD多长时，平面CDEF与平面ADE所成的锐二面角为60°？

Answer 1

【答案】分析：（1）如图1，连接AC．利用矩形的性质可得N为AC的中点，利用三角形的中位线定理可得MN∥CF，再利用线面平行的判定定理即可证明；
（2）利用线面垂直的判定定理可得AD⊥平面ABFE，得到AD⊥AP；利用平行四边形的判定和性质可得AP=BF，利用勾股定理的逆定理可得AP⊥AE，利用线面垂直的判定定理
可得AP⊥平面ADE．进而得到结论．
（3）解法一：如图所示，通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角公式即可得出二面角，解出即可；
解法二：点A作AK⊥DE交DE于K点，连结PK，则DE⊥PK，可得∠AKP为二面角A-DE-F的平面角，利用直角三角形的边角关系即可得出．
解答：（1）证明：如图1，连接AC，∵四边形ABCD是矩形，N为BD中点，
∴N为AC中点，
在△ACF中，M为AF中点，故MN∥CF．
∵CF?平面BCF，MN?平面BCF，
∴MN∥平面BCF；
（2）证明：由题意知DA⊥AB，DA⊥AE 且AB∩AE=A，
∴AD⊥平面ABFE，
∵AP?平面ABFE，∴AP⊥AD，
∵P为EF中点，∴，
又AB∥EF，可得四边形ABFP是平行四边形．
∴AP∥BF，AP=BF=2．
∴AP²+AE²=PE²，∴∠PAE=90°，∴PA⊥AE．
又AD∩AE=A，∴AP⊥平面ADE．
∵DE?平面ADE，∴AP⊥DE．
（3）解法一：如图2，分别以AP，AE，AD所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系
设AD=m（m＞0），则A（0，0，0），D（0，0，m），E（0，2，0），P（2，0，0）．
∴，．
可知平面ADE的一个法向量为，
设平面DEF的一个法向量为，则，令x=1，则y=1，．
故．
∴，
由题意得，=cos60°，解得，
即时，平面CDEF与平面ADE所成的锐二面角为60°．
解法二：过点A作AK⊥DE交DE于K点，连结PK，则DE⊥PK，∴∠AKP为二面角A-DE-F的平面角，
由∠AKP=60°，AP=BF=2得AK=，
又AD•AE=AK•DE得，
解得，即时，平面CDEF与平面ADE所成的锐二面角为60°．
点评：熟练掌握利用矩形的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理、线面垂直的判定和性质定理、平行四边形的判定和性质、勾股定理的逆定理、通过建立空间直角坐标系利用两个平面的法向量的夹角公式得出二面角的方法、利用二面角的定义作出二面角、直角三角形的边角关系等是解题的关键．