Question

4个男同学，3个女同学站成一排，下列情况各有多少种不同排法：

n	2	3	4	5	6	7
n!	2	6	24	120	720	5040

（1）3个女同学必须排在一起；
（2）同学甲和同学乙之间恰好有3人；
（3）女同学从左往右按从高到低排（3个女同学身高互不相等）；
（4）同学甲不站在左端，同学乙不站在右端．
注：解答须列式，答案要用数字表示，下面给出数据供参考．

Answer 1

分析：（1）必须排在一起的用视一法来求，即把必须排在一起的看成一个整体，与剩余元素进行全排列，注意整体之间还要进行全排列．
（2）因为甲乙之间恰有3人，先选3人放入甲乙之间，再把这5人看做一个整体，与剩余元素进行全排列，注意甲乙之间还有顺序．
（3）因为女同学从左往右按从高到低排，所以女同学顺序确定，只需先不考虑女同学的顺序，把7人进行全排列，再除以女同学的顺序即可．
（4）用排除法来做．先不考虑甲乙的限制条件，把7人进行全排列，再减去不成立的情况，若多减了，还要再加上多减的情况．

解答：解：（1）∵3个女同学必须排在一起，可看成一个整体，与4个男同学进行排列，共有A₅⁵种不同的排法，
3个女同学之间还要进行全排列，有A₃³种不同的排法，
最后两步方法数相乘，共有A₃³•A₅⁵=720  种不同的方法   
（2）∵同学甲和同学乙之间恰好有3人，∴先选3人放入甲乙之间，有A₅³种不同的选法，
再把甲乙与这3人看成一个整体，与剩余2人进行全排列，有A₃³种不同的排法，
甲乙之间还要进行全排列，有A₂²种不同的排列，
最后，把三步方法数相乘，共有A₅³•A₂²•A₃³=720 种不同的方法．   
（3））∵女同学从左往右按从高到低排，∴女同学之间的顺序确定，
先不考虑女同学的限制，7个人进行全排列，再除以女同学的顺序，
共有

A 7 7

A 3 3

=840种不同的排列．
（4）甲在左端共有A₆⁶种不同的排法，乙在右端共有A₆⁶种不同的排法，
先不考虑限制条件，让7人进行全排列，共有A₇⁷种排法，
再去掉甲在左端的情况和乙在右端的情况，这样甲在左端，同时乙在右端的情况去了2次，
∴共有A₇⁷-2A₆⁶+A₅⁵=3720种不同的方法．

点评：本题主要考查了排列再实际问题中的应用，考查了相邻问题，顺序确定问题，有限制元素的问题的解法，做题过程中注意总结题型．