如图,在四棱锥中,
平面ABCD,底面ABCD是菱形,
,
.
(1)求证:平面PAC;
(2)若,求
与
所成角的余弦值;
(3)当平面PBC与平面PDC垂直时,求PA的长.
(1)证明见解析;(2);(3)
.
解析试题分析:(1)要证线面垂直,就是要证这条直线与平面内的两条相交直线垂直,这里由于四边形是菱形,所以
,另外一条直线当然考虑
(或者
),本题中应该是
;(2)求异面直线所成的角,一般可通过平移变成相交直线所成的角,考虑到第(3)小题问题,且题中有垂直的直线,故考虑建立空间直角坐标系(以
的交点
为坐标原点,
为
轴,
为
轴,过
与
平行的直线为
轴),则
与
所成角就是
与
的夹角((锐角(或其补角)或直角),平面
与平面
垂直就是它们的法向量垂直,即它们的法向量的数量积为0.
试题解析:(1)证明:因为四边形是菱形,所以
,又因为
平面
,所以
,而
,所以
平面
.
(2)设,因为
,
所以,如图,以
为坐标原点,建立空间直角坐标系
,则
,
,
,
,
,
,设
与
所成的角为
,则
.
(3)由(2)知设
.则
设平面
的法
向量则
,所以
令
则
,
所以同理,平面
的法向量
,因为平面
,所以
,即
解得
,所以
.
考点:(1)线面垂直;(2)异面直线所成的角;(3)两平面垂直.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图四棱锥中,底面
是平行四边形,
平面
,垂足为
,
在
上且
,
,
,
是
的中点,四面体
的体积为
.
(1)求二面角的正切值;
(2)求直线到平面
所成角的正弦值;
(3)在棱上是否存在一点
,使异面直线
与
所成的角为
,若存在,确定点
的位置,若不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
三棱锥P?ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC。
(1)证明:平面PAB⊥平面PBC;
(2)若PA=,PC与侧面APB所成角的余弦值为
,PB与底面ABC成60°角,求二面角B―PC―A的大小。
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