Question

（本小题满分14分）
已知实系数一元二次方程x²+px+q=0的两根分别为x₁，x₂。
（1）若上述方程的一个根x₁=4-i（i为虚数单位），求实数p，q的值；
（2）若方程的两根满足|x₁|+|x₂|=2，求实数p的取值范围。

Answer 1

解：（1）根据“实系数方程虚根共轭成对出现”，知x₂=4+i，                          ……2分
根据韦达定理，知p=-(x₁+x₂)=-8；q=x₁·x₂=17。                                                      ……2分
（2）①当△=p²-4q<0时，方程的两根为虚数，且，
∴|x₁|=|x₂|=1，∴q=1。∴p=-(x₁+x₂)=-2Re(x₁)∈[-2，2]，
又根据△=p²-4q<0，∴p∈(-2，2)。                                                                            ……3分
②（法一）当△=p²-4q≥0时，方程的两根为实数，
（2-1）当q>0时，方程的两根同号，∴|x₁|+|x₂|=|x₁+x₂|=|p|=2，∴p=±2；
（2-2）当q=0时，方程的一根为0，∴|x₁|+|x₂|=|x₁+x₂|=|p|=2，∴p=±2；
（2-2）当q<0时，方程的两根异号，∴|x₁|+|x₂|=|x₁-x₂|=2，
∴4=(x₁+x₂)²-4x₁x₂=p²-4q，∴p²=4+4q∈[0，4)，∴p∈(-2，2)
∴当△≥0时，p∈[-2，2]。                                                                        ……3分
综上，p的取值范围是[-2，2]。
（法二）当△=p²-4q≥0时，方程的两根为实数，
∴|p|=|x₁+x₂|≤|x₁|+|x₂|=2，当x₁与x₂同号或有一个为0时等号取到。特别的，取x₁=2，x₂=0时p=-2；取x₁=-2，x₂=0时p=2。
∴p∈[-2，2]。                                                                                                                      ……3分
综上，p的取值范围是[-2，2]

略