【题目】如图，真四棱柱
的底面是菱形，
，
，
，E，M，N分别是BC，
，
的中点.
（1）证明：
面
；
（2）求平面DMN与平面所成锐角的正切值.
【答案】（1）证明见解析.（2）
【解析】
（1）由余弦定理可得
，进而可得
，由正棱柱的几何特征可得
，由线面垂直的判定即可得解；
（2）连接ME，由题意可得四边形DNME为平行四边形，DE即为平面DMN与平面
的交线，由线面垂直的判定可得
面
，进而可得
即为平面DMN与平面所成的平面角，即可得解.
（1）证明：∵在菱形ABCD中，
，
，且E为BC中点，
∴
，∴
即，
又棱柱
是直四棱柱，∴
平面
，∴，
又
平面，
平面，
,
∴
面；
（2）连接ME，
∵E，M，N分别是BC，
，
的中点，
∴
且
，
∴
且
，∴四边形DNME为平行四边形，
从而可知：DE即为面DMN与面的交线，
∵
，
，
，∴面，
∴
且，
则即为平面DMN与平面所成的平面角，
在
中，
，
故平面DMN与平面所成锐角的正切值为.
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【题目】椭圆
的焦距是
，长轴长是短轴长3倍，任作斜率为
的直线
与椭圆
交于
两点（如图所示），且点
在直线的左上方.
（1）求椭圆的方程；
（2）若
，求
的面积；
（3）证明：的内切圆的圆心在一条定直线上。
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【题目】[选修4—4：坐标系与参数方程]
以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是
(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cos θ，求直线l被圆C截得的弦长．
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【题目】“网购”已经成为我们日常生活中的一部分，某地区随机调查了100名男性和100名女性在“双十一”活动中用于网购的消费金额，数据整理如下：
男性消费金额频数分布表
消费金额 （单位：元） | 0~500 | 500~1000 | 1000~1500 | 1500~2000 | 2000~3000 |
人数 | 15 | 15 | 20 | 30 | 20 |
（1）试分别计算男性、女性在此活动中的平均消费金额；
（2）如果分别把男性、女性消费金额与中位数相差不超过200元的消费称作理性消费，试问是否有5成以上的把握认为理性消费与性别有关.
附：
| 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 |
| 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 |
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【题目】2016年春节期间全国流行在微信群里发、抢红包，现假设某人将688元发成手气红包50个，产生的手气红包频数分布表如表：
（I）求产生的手气红包的金额不小于9元的频率；
（Ⅱ）估计手气红包金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅲ）在这50个红包组成的样本中，将频率视为概率．
（i）若红包金额在区间[21，25]内为最佳运气手，求抢得红包的某人恰好是最佳运气手的概率；
（ii）随机抽取手气红包金额在[1，5）∪[﹣21，25]内的两名幸运者，设其手气金额分别为m，n，求事件“|m﹣n|＞16”的概率．
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【题目】某社区组织“学习强国”的知识竞赛，从参加竞赛的市民中抽出40人，将其成绩分成以下6组：第1组
，第2组
，第3组
，第4组
，第5组
，第6组
，得到如图所示的频率分布直方图．现采用分层抽样的方法，从第2，3，4组中按分层抽样抽取8人，则第2，3，4组抽取的人数依次为（ ）
A.1，3，4B.2，3，3C.2，2，4D.1，1，6
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【题目】如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,ACBC,D,E分别是A1B1,BC的中点．求证：
（1）平面ACD⊥平面BCC1B1；
（2）B1E∥平面ACD．
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【题目】在平面直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为
（t为参数，0＜α＜π），曲线C2的参数方程为
（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线C2的极坐标方程；
（2）设曲线C1与曲线C2的交点分别为A，B，M（﹣2，0），求|MA|2+|MB|2的最大值及此时直线C1的倾斜角.
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