Question

（本小题满分12分）
已知数列{}满足,且点在函数的图象上，其中=1,2,3,….
（Ⅰ）证明：数列{lg(1+)}是等比数列；
（Ⅱ）设=(1+)（1+）…（1+），求及数列{}的通项.

Answer 1

（Ⅰ）证明见解析；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知lg(+1)=2n-1lg(1+)
=2n-1lg3=lg.∴+1=. 则 = -1     
∴=(1+)(1+)…(1+)=···…·   
==.∴=,=-1.

(I)紧扣等比数列的定义进行证明即可.先由由于(,)在函数的图象上,
可得,从而可得,,从而得到证明.
(II)求出,然后可知然后再利用等比数列前n项和公式求解.
（Ⅰ）证明: 由于(,)在函数的图象上，
∴=+2,∴+1=.                      …………4分
∵=2，∴+1﹥1,∴lg（+1）=2lg（+1）.
∴数列{lg(+1)}是公比为2的等比数列.                 …………6分
（Ⅱ）解: 由（Ⅰ）知lg(+1)=2n-1lg(1+)
=2n-1lg3=lg.∴+1=. 则 = -1              …………9分
∴=(1+)(1+)…(1+)=···…·   
==.∴=,=-1.                       …………12分