Question

3．f（x）为定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=e^x，（其中e=2.71828…为自然数的底数）
（1）令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，求g（x）在区间[1，2]上的最大值
（2）若总存在实数t，对任意x∈[1，m]，都有f（x+t）≤ex成立，求正整数m的最大值．

Answer 1

分析 （1）求函数的导数，利用函数最值和导数之间的关系进行求解．
（2）原命题等价转化为：存在实数t∈[-1，+∞），使得不等式t≤1+lnx-x对任意x∈[1，m]恒成立．再利用导数求得h（x）=1+lnx-x的最小值为h（x）_min=h（m）=1+lnm-m，由此求得h（m）≥-1的最大整数m的值．

解答 解：（1）g（x）=$\frac{f（x）}{x}$=$\frac{{e}^{x}}{x}$，（x＞0）．
则函数的导数g′（x）=$\frac{{e}^{x}•x-{e}^{x}}{{x}^{2}}$=$\frac{（x-1）{e}^{x}}{{x}^{2}}$，
由当1≤x≤2时，g′（x）≥0，
即g（x）在区间[1，2]上为增函数，
则此时的最大值为g（2）=$\frac{{e}^{2}}{2}$．
（2）解：当t∈[-1，+∞）且x∈[1，m]时，x+t≥0，
∴f（x+t）≤ex即e^x+t≤ex，
即t≤1+lnx-x；
∴存在实数t∈[-1，+∞），使得不等式t≤1+lnx-x对任意x∈[1，m]恒成立；
令h（x）=1+lnx-x（1≤x≤m）；
∵h′（x）=$\frac{1}{x}$-1≤0，
∴函数h（x）在（0，+∞）为减函数；
又∵x∈[1，m]，
∴h（x）_min=h（m）=1+lnm-m．
∴要使得对x∈[1，m]，t值恒存在，只须1+lnm-m≥-1；
∵h（3）=ln3-2＞-1，h（4）=ln4-3＜-1；
且函数h（x）在（0，+∞）为减函数，
∴满足条件的最大整数m的值为3．

点评 本题主要考查了函数的恒成立问题与存在性问题，利用导数研究函数的单调性，体现了转化的数学思想，考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大．