Question

已知M=

a2+asinθ+1

a2+acosθ+1

（a，θ∈R，a≠0），则M的最大值与最小值分别为（　　）

• A、

  1+ 7

  3

  ，

  1- 7

  3

• B、

  4+ 7

  3

  ，

  4- 7

  3

• C、

  9+4 2

  7

  ，

  9-4 2

  7

• D、

  8+4 2

  7

  ，

  8-4 2

  7

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：计算题,函数的性质及应用,三角函数的图像与性质,不等式的解法及应用

分析：化简M=

a2+asinθ+1

a2+acosθ+1

可化为aMcosθ-asinθ+（M-1）（a²+1）=0；从而可得直线aMx-ay+（M-1）（a²+1）=0与圆x²+y²=1有公共点，从而得到

|M-1|(a2+1)

|a| M2+1

≤1，化简

|M-1|

M2+1

≤

|a|

a2+1

≤

1

2

；从而求解．

解答： 解：由题意，M=

a2+asinθ+1

a2+acosθ+1

可化为aMcosθ-asinθ+（M-1）（a²+1）=0；
所以直线aMx-ay+（M-1）（a²+1）=0与圆x²+y²=1有公共点，
故

|M-1|(a2+1)

|a| M2+1

≤1；
得到

|M-1|

M2+1

≤

|a|

a2+1

≤

1

2

；
（当且仅当|a|=1时，等号成立）；
故

|M-1|

M2+1

≤

1

2

；
即3M²-8M+3≤0；
故

4- 7

3

≤M≤

4+ 7

3

；
故最大值为

4+ 7

3

，最小值为

4- 7

3

；
故选B．

点评：本题考查了函数的几何意义的应用及基本不等式的应用，属于中档题．