Question

【题目】已知公比不为1的等比数列{an}的前5项积为243，且2a3为3a2和a4的等差中项．
（1）求数列{an}的通项公式an；
（2）若数列{bn}满足bn=bn﹣1log3an+2（n≥2且n∈N*），且b1=1，求数列 的前n项和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由前5项积为243，即为a1a2a3a4a5=243，

即有a1a5=a2a4=a32，即a35=243，

得：a3=3，设等比数列的公比为q，

由2a3为3a2和a4的等差中项得：4a3=3a2+a4，

即 ，

由公比不为1，解得：q=3，

所以an=a3qn﹣3，

即

（2）解：由bn=bn﹣1log3an+2=bn﹣1n，

得 ，

数列 ，

所以它的前n项和 ．

【解析】（1）运用等比数列的性质可得a3=3，设等比数列的公比为q，运用等差数列中项的性质，结合等比数列通项公式，解得q=3，即可得到所求数列{an}的通项公式；（2）求得bn=bn﹣1log3an+2=bn﹣1n，运用数列恒等式bn=b1 … =n!，求出 ，运用裂项相消求和即可得到所求和．