Question

8．已知$\overrightarrow{a}$=（2cosα，2sinα），$\overrightarrow{b}$=（cosβ，sinβ），0＜α＜β＜2π．
（1）若$\overrightarrow{c}$=（1，1），且$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{c}$，求$\overrightarrow{a}$的值；
（2）若$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=1，cos（α+β）=$\frac{1}{3}$，求tanαtanβ的值；
（3）设$\overrightarrow{c}$=（2，0），若$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{c}$，求α-β的值．

Answer 1

分析 （1）根据平面向量共线的坐标表示，列出方程求出α的值，即可得出向量$\overrightarrow{a}$；
（2）根据平面向量的数量积与三角恒等变换，列出方程组，求出tanαtanβ的值；
（3）根据平面向量的坐标运算，结合三角恒等变换与角的取值范围，求出α-β的值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（2cosα，2sinα），$\overrightarrow{b}$=（cosβ，sinβ），0＜α＜β＜2π．
$\overrightarrow{c}$=（1，1），且$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{c}$，
∴2cosα•1-2sinα•1=0，
即sinα=cosα，
∴α=$\frac{π}{4}$或$\frac{5π}{4}$，
∴$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）或$\overrightarrow{a}$=（-$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$）；
（2）∵$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=1，cos（α+β）=$\frac{1}{3}$，
∴2cosαcosβ+2sinαsinβ=1，
即cosαcosβ+sinαsinβ=$\frac{1}{2}$①，
又cosαcosβ-sinαsinβ=$\frac{1}{3}$②，
由①②组成方程组，求出sinαsinβ=$\frac{1}{12}$，cosαcosβ=$\frac{5}{12}$，
∴tanαtanβ=$\frac{sinαsinβ}{cosαcosβ}$=$\frac{\frac{1}{12}}{\frac{5}{12}}$=$\frac{1}{5}$；
（3）$\overrightarrow{c}$=（2，0），$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{c}$，
$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$=（2cosα+2cosβ，2sinα+2sinβ），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2cosα+2cosβ=2}\\{2sinα+2sinβ=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{cosα+cosβ=1}\\{sinα+sinβ=0}\end{array}\right.$，
∴cos²α+sin²α=1-2cosβ+cos²β+sin²β=2-2cosβ=1，
解得cosβ=$\frac{1}{2}$，cosα=$\frac{1}{2}$；
又∵0＜α＜β＜2π，
∴sinα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，sinβ=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴α=$\frac{π}{3}$，β=$\frac{5π}{3}$，α-β=-$\frac{4π}{3}$．

点评 本题考查了平面向量的坐标运算问题，也考查了三角函数的恒等变换与求值运算问题，是综合性题目．