Question

某加工厂需定期购买原材料，已知每公斤原材料的价格为1．5元，每次购买原材料需支付运费600元．每公斤原材料每天的保管费用为0．03元，该厂每天需要消耗原材料400公斤，每次购买的原材料当天即开始使用(即有400公斤不需要保管)．

   (I)设该厂每x天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在z天内总的保管费用y₁关于x的函数关系式：

    (Ⅱ)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y最少，并求出这个最少(小)值．

(Ⅲ)若一次购买原材料不少于6吨时其价格可享受八五折优惠(即为原价的85％)．问按此优惠条件，该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y最少，并求出这个最少(小)值．

Answer 1

解：(I)每次购买原材料后，当天用掉的400公斤原材料不需要保管费用，第二天用掉的400公斤原材料需保管1天，第三天用掉的400公斤原材料需保管2天，第四天用掉的400公斤原材料需保管3天，……，第x天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的400公斤原材料需保管x-1天．

     ∴   每次购买的原材料在x天内总的保管费用

y₁=400×O．03[1+2+3+…+(x-1)]=6x²-6x(元)．   

(Ⅱ)由上问可知，购买一次原材料的总的费用为6x²-6x+600+1．5×400x元，

∴  购买一次原材料平均每天支付的总费用

∴.  当且仅当，即x=10时，取等号.

∴该厂10天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用y最少，为714元．

    (Ⅲ)按此优惠条件，则至少15天购买一次原材料，又由上问可知，按此优惠条件购买一次原材料的总的费用为

    ∴购买一次原材料平均每天支付的总费用

     

    ∴

    ∴当x≥15时，y^’>0, 即函数在[15,+∞）上是增函数

    ∴当x=15时，y取得最小值，最小值为

     ∴按此优惠条件，该厂15天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用y最少，最少为634元