Question

5．已知椭圆C是$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1（a＞0），A，B为椭圆的左右顶点，点P为椭圆上异于A，B的动点，且直线PA，PB的斜率之积为-$\frac{3}{4}$．求椭圆C的方程．

Answer 1

分析 通过设P（x，y），其中x=acosα，y=3sinα，利用k_PA•k_PB=-$\frac{3}{4}$，计算即得结论．

解答 解：∵点P为椭圆上异于A，B的动点，
∴可设P（x，y），其中x=acosα，y=3sinα，
∵A（-a，0），B（a，0），
∴k_PA=$\frac{y-0}{x+a}$=$\frac{3sinα}{a（1+cosα）}$，
k_PB=$\frac{y-0}{x-a}$=$\frac{3sinα}{a（cosα-1）}$，
又∵直线PA，PB的斜率之积为-$\frac{3}{4}$，
∴k_PA•k_PB=-$\frac{3}{4}$，即$\frac{9si{n}^{2}α}{{-a}^{2}（1-co{s}^{2}α）}$=-$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{9}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，解得a²=12，
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．

点评 本题考查求椭圆的方程，注意解题方法的积累，属于中档题．