Question

已知数列a_n的前n项和为S_n，a₁=1，S_n=a_n+1-3n-1，n∈N^*．
（Ⅰ）证明：数列a_n+3是等比数列；
（Ⅱ）对k∈N^*，设f(n)=

Sn-an+3n  n=2k-1  log2(an+3)  n=2k.

求使不等式cos（mπ）[f（2m²）-f（m）]≤0成立的正整数m的取值范围．．

Answer 1

分析：（I）把S_n和S_n+1相减整理求得a_n+1=2a_n+3，整理出3+a_n+1=2（3+a_n），判断出数列{3+a_n}是首项为4，公比为2的等比数列即可．
（II）把（I）中的a_n代入f（n），求得其通项公式，进而对m进行奇偶数讨论：①当m为偶数时②当m为奇数时结合二项式定理进行放缩，即可得出：当m∈1，3时，不等式cos（mπ）[f（2m²）-f（m）]≤0成立．

解答：解：（I）由S_n=a&_n+1-3n-1，则S_n-1=a_n-3（n-1）-1，n≥2．
两式相减得a_n+1=2a_n+3，n≥2．
即

an+1+3

an+3

=2，  n≥2．（2分）
又n=1时，a2=5，  

a2+3

a1+3

=2．
∴数列a_n+3是首项为4，公比为2的等比数列．（4分）
（Ⅱ）由（I）知a_n+3=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹，S_n=a_n+1-3n-1=2ⁿ⁺²-3n-4．
∴f(n)=

2n+1-1  n=2k-1   n+1  n=2k.

（5分）
①当m为偶数时，cos（mπ）=1，f（2m²）=2m²+1，f（m）=m+1，
∴原不等式可化为（2m²+1）-（m+1）≤0，
即2m²-m≤0．
故不存在合条件的m．（7分）
②当m为奇数时，cos（mπ）=-1，f（2m²）=2m²+1，f（m）=2^m+1-1．
原不等式可化为2m²+1≥2^m+1-1．
当m=1或3时，不等式成立．（9分）
当m≥5时，2^m+1-1=2（1+1）^m-1=2（C_m⁰+C_m¹+C_m²++C_m^m-2+C_m^m-1+C_m^m）-1≥2m²+2m+3＞2m²+1．
∴m≥5时，原不等式无解．（11分）
综合得：当m∈{1，3}时，不等式cos（mπ）[f（2m²）-f（m）]≤0成立．（12分）

点评：本题主要考查了数列的递推式的应用，数列的通项公式和等比关系的确定．应掌握一些常用的数列与不等式的综合的解法．