Question

已知F₁（-1，0），F₂（1，0）为平面内的两个定点，动点P满足，记点P的轨迹为曲线Γ．
（Ⅰ）求曲线Γ的方程；
（Ⅱ）设点O为坐标原点，点A，B，C是曲线Γ上的不同三点，且．
（ⅰ）试探究：直线AB与OC的斜率之积是否为定值？证明你的结论；
（ⅱ）当直线AB过点F₁时，求直线AB、OC与x轴所围成的三角形的面积．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据椭圆的定义，可知点P的轨迹是以F₁（1，0），F₂（-1，0）为焦点的椭圆，进而可得曲线Γ的方程；
（Ⅱ）将转化为坐标之间的关系．（ⅰ）设直线AB的方程代入椭圆方程并整理，利用韦达定理，确定点C的坐标，利用斜率公式可得直线AB与OC的斜率之积为定值；（ⅱ）先判断直线AB的斜率存在，确定点C的坐标代入椭圆方程，可求k的值，进而分类求出直线AB、OC与x轴所围成的三角形的面积．
解答：解：（Ⅰ）由条件可知，点P到两定点F₁（1，0），F₂（-1，0）的距离之和为定值，
所以点P的轨迹是以F₁（1，0），F₂（-1，0）为焦点的椭圆．…（2分）
又，c=1，所以b=1，
故所求方程为．…（4分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）．
由，得x₁+x₂+x₃=0，y₁+y₂+y₃=0．…（5分）
（ⅰ）可设直线AB的方程为y=kx+n（k≠0），
代入x²+2y²=2并整理得，（1+2k²）x²+4knx+2n²-2=0，
依题意，△＞0，则 ，，
从而可得点C的坐标为，．
因为，所以直线AB与OC的斜率之积为定值．…（8分）
（ⅱ）若AB⊥x轴时，，由，
得点C（2，0），所以点C不在椭圆Γ上，不合题意．
因此直线AB的斜率存在．…（9分）
由（ⅰ）可知，当直线AB过点F₁时，有n=k，点C的坐标为．
代入x²+2y²=2得，，即4k²=1+2k²，
所以．                   …（11分）
（1）当时，由（ⅰ）知，，从而．
故AB、OC及x轴所围成三角形为等腰三角形，其底边长为1，且底边上的高，所求等腰三角形的面积．
（2）当时，又由（ⅰ）知，，从而，
同理可求直线AB、OC与x轴所围成的三角形的面积为．
综合（1）（2），直线AB、OC与x轴所围成的三角形的面积为．…（13分）
点评：本小题考查椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等．