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6.已知f(x)=$\left\{\begin{array}{l}ln(\sqrt{{x^2}+1}-x),x≥0\\ ln(\sqrt{{x^2}+1}+x),x<0\end{array}$,则不等式f(2x-1)>f(3)的解集为(  )
A.(2,+∞)B.(-∞,-2)∪(2,+∞)C.(-1,2)D.(-∞,-1)∪(2,+∞)

分析 根据分段函数的表达式先判断函数f(x)是偶函数,然后判断当x≥0时函数为减函数,利用函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解即可.

解答 解:由分段函数得f(0)=0,
若x<0,则-x>0,此时f(-x)=ln($\sqrt{{x}^{2}+1}$+x),f(x)=ln($\sqrt{{x}^{2}+1}$+x),则f(-x)=f(x),
若x>0,则-x<0,此时f(-x)=ln($\sqrt{{x}^{2}+1}$-x),f(x)=ln($\sqrt{{x}^{2}+1}$-x),则f(-x)=f(x),
综上恒有则f(-x)=f(x),即函数f(x)是偶函数,
当x≥0时,f(x)=ln($\sqrt{{x}^{2}+1}$-x)=ln$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}+x}$=-ln($\sqrt{{x}^{2}+1}$+x),
∵当x≥0时y=x是增函数,y=$\sqrt{{x}^{2}+1}$是增函数,∴y=ln($\sqrt{{x}^{2}+1}$+1)是增函数,而y=-ln($\sqrt{{x}^{2}+1}$+1)是减函数,
则不等式f(2x-1)>f(3)等价为不等式f(|2x-1|)>f(3),
即|2x-1|<3,得-3<2x-1<3,得-1<x<2,
即不等式的解集为(-1,2),
故选:C.

点评 本题主要考查分段函数的应用,根据条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键.

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