Question

13．设无穷等差数列{a_n}的前n项和为S_n
（1）a₁=-4，公差d=2，求满足${S_{k^2}}={（{S_k}）^2}$的正整数k；
（2）求满足：对于一切正整数k，都有${（{S_k}）^2}={S_{k^2}}$成立的所有的无穷等差数列{a_n}．

Answer 1

分析 （1）通过a₁=-4、公差d=2可得S_n=n（n-5），利用${S_{k^2}}={（{S_k}）^2}$，代入计算即可；
（2）通过令k=1，利用${（{S_k}）^2}={S_{k^2}}$可得a₁=1或0．分a₁=1、a₁=0两种情况讨论即可．

解答 解：（1）∵a₁=-4，公差d=2，
∴a_n=-4+2（n-1）=2n-6，
∴S_n=$\frac{n（-4+2n-6）}{2}$=n（n-5），
∵${S_{k^2}}={（{S_k}）^2}$，
∴k²（k²-5）=[k（k-5）]²，
∴k⁴-5k²=k⁴-10k³+25k²，
∴k²（k-1）=0，
解得：k=1或k=0（舍），
∴正整数k=1；
（2）∵对于一切正整数k，都有${（{S_k}）^2}={S_{k^2}}$成立，
∴a₁=S₁=$（{S}_{2}）^{2}$，
∴a₁=S₁=1或0．
下面分情况讨论：
①当a₁=0时，设公差为d，
则a_n=（n-1）d，
S_n=$\frac{n（n-1）d}{2}$，
∵${（{S_k}）^2}={S_{k^2}}$，
∴$（\frac{k（k-1）d}{2}）^{2}$=$\frac{{k}^{2}（{k}^{2}-1）d}{2}$，
即：2（k+1）d=（k-1）d²对任何k都成立，
∴d=0，
∴无穷等差数列通项a_n=0；
②当a₁=1时，设公差为d，
则a_n=（n-1）d+1，
S_n=$\frac{n（n-1）d}{2}$+n=$\frac{n[2+（n-1）d]}{2}$，
∵${（{S_k}）^2}={S_{k^2}}$，
∴$\{\frac{k[2+（k-1）d]}{2}{\}}^{2}$=$\frac{{k}^{2}[2+（{k}^{2}-1）d]}{2}$，
即2d（k-1）（k+1）=d（k-1）[（k-1）d-4）]对所有k都成，
∴d=0，
∴无穷等差数列通项a_n=1；
综上所述：满足条件的无穷等差数列{a_n}通项a_n=1或a_n=0．

点评 本题考查等差数列，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．